Integral de √(1−x²): fórmula, passo a passo e exemplos

A integral de \sqrt{1-x^2} é \dfrac{1}{2}\left(x\sqrt{1-x^2} + \arcsin x\right) + C. É o primeiro exemplo clássico de substituição trigonométrica, e é assim que o cálculo demonstra a área do círculo.

Para um círculo de raio a:

Gráfico: metade do círculo unitário

Como integrar √(1−x²) passo a passo

1. Substitua. Seja x = \sin\theta com -\frac{\pi}{2} \le \theta \le \frac{\pi}{2}. Então dx = \cos\theta\,d\theta e \sqrt{1-\sin^2\theta} = \cos\theta, que não é negativo nesse intervalo.
2. Reescreva. \int \sqrt{1-x^2}\,dx = \int \cos\theta\cdot\cos\theta\,d\theta = \int \cos^2\theta\,d\theta
3. Use a identidade do arco metade \cos^2\theta = \frac{1 + \cos 2\theta}{2}, como na página da integral de cos²x: \int \cos^2\theta\,d\theta = \frac{\theta}{2} + \frac{\sin 2\theta}{4} + C = \frac{\theta}{2} + \frac{\sin\theta\cos\theta}{2} + C
4. Volte para x. \theta = \arcsin x, \sin\theta = x e \cos\theta = \sqrt{1-x^2}: \frac{1}{2}\arcsin x + \frac{1}{2}x\sqrt{1-x^2} + C

A versão geral usa x = a\sin\theta do mesmo jeito. O guia de substituição trigonométrica trata dos outros dois formatos de raiz, \sqrt{a^2+x^2} e \sqrt{x^2-a^2}.

Verificação por derivação

Derive cada parte. Pela regra do produto:

e \frac{d}{dx}\arcsin x = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}. Somando:

Metade disso é \sqrt{1-x^2}, como deveria ser.

Integrais definidas e a área do círculo

No intervalo inteiro, o termo com raiz se anula nas duas extremidades:

Dobrando para incluir a metade de baixo, obtemos a área do círculo unitário, \pi. Com raio a, os mesmos passos dão \int_{-a}^{a}\sqrt{a^2-x^2}\,dx = \frac{\pi a^2}{2}, então um círculo inteiro tem área \pi a^2.

Exemplos resolvidos

Exemplo 1: parte de um círculo. Calcule \int_0^{1/2}\sqrt{1-x^2}\,dx.

A figura: um setor de 30^\circ de área \frac{\pi}{12} mais um triângulo de área \frac{\sqrt{3}}{8}.

Exemplo 2: raio 3. \int_{-3}^{3}\sqrt{9-x^2}\,dx = \frac{9\pi}{2}, metade de um círculo de raio 3. Depois de enxergar a forma, não é preciso calcular nenhuma primitiva.

Exemplo 3: uma primitiva geral. Com a = 2:

Exemplo 4: círculo deslocado. \int_0^2\sqrt{2x - x^2}\,dx. Complete o quadrado: 2x - x^2 = 1 - (x-1)^2. É o semicírculo unitário centrado em x = 1, então a resposta é \frac{\pi}{2}.

Erros comuns

1. Tentar u = 1 - x^2. Seria preciso um x\,dx para casar com du, e ele não existe.
2. Esquecer de voltar à variável original. Uma resposta em \theta não está terminada. Use um triângulo retângulo com cateto oposto x e hipotenusa 1 para ler \cos\theta = \sqrt{1-x^2}.
3. Esquecer o \frac{a^2}{2}. Na fórmula geral, o termo com arcsen leva \frac{a^2}{2}, e não \frac{1}{2}.
4. Confundir com \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}. Essa integra direto para \arcsin x; veja a integral de 1/√(1−x²).