Integral de 1/√(1−x²): fórmula, passo a passo e exemplos

A integral de \dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}} é \arcsin x + C. Ela é o inverso da derivada de arcsen x e vale no intervalo -1 < x < 1, onde a raiz quadrada é real e diferente de zero.

Para qualquer constante a > 0:

Gráfico de 1/√(1−x²)

Como integrar 1/√(1−x²) passo a passo

A raiz de 1 - x^2 lembra a identidade pitagórica 1 - \sin^2\theta = \cos^2\theta, então substitua x = \sin\theta.

1. Seja x = \sin\theta com -\frac{\pi}{2} < \theta < \frac{\pi}{2}. Então dx = \cos\theta\,d\theta.
2. Simplifique a raiz. Nesse intervalo \cos\theta > 0, então \sqrt{1 - \sin^2\theta} = \cos\theta.
3. Integre: \int \frac{\cos\theta\,d\theta}{\cos\theta} = \int 1\,d\theta = \theta + C
4. Volte para x: \theta = \arcsin x.

Para \frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}}, use x = a\sin\theta. Então dx = a\cos\theta\,d\theta e \sqrt{a^2 - a^2\sin^2\theta} = a\cos\theta. Os dois fatores a se cancelam, e é por isso que a resposta não tem \frac{1}{a} na frente. Esse é o primeiro caso de substituição trigonométrica.

Verificação por derivação

O passo usa a\sqrt{1 - \frac{x^2}{a^2}} = \sqrt{a^2 - x^2}, que vale porque a > 0.

Integrais definidas

As duas últimas são integrais impróprias, já que o integrando é ilimitado em x = \pm 1. Mesmo assim convergem, porque a explosão é só da ordem de \frac{1}{\sqrt{1-x}}.

Exemplos resolvidos

Exemplo 1. \displaystyle\int \frac{dx}{\sqrt{9 - x^2}} = \arcsin\frac{x}{3} + C, usando a = 3.

Exemplo 2: um coeficiente em x². \displaystyle\int \frac{dx}{\sqrt{1 - 4x^2}}. Seja u = 2x, du = 2\,dx:

Exemplo 3: complete o quadrado. \displaystyle\int \frac{dx}{\sqrt{4x - x^2}}. Escreva 4x - x^2 = 4 - (x - 2)^2 e use a = 2 e u = x - 2:

Exemplo 4: uma integral definida. \displaystyle\int_0^{3} \frac{dx}{\sqrt{36 - x^2}} = \arcsin\frac{3}{6} - \arcsin 0 = \frac{\pi}{6}.

Erros comuns

1. Acrescentar um \frac{1}{a}. Ele pertence à fórmula da arctg, \int \frac{dx}{a^2+x^2} = \frac{1}{a}\arctan\frac{x}{a}. A fórmula do arcsen não tem. Compare com a integral de 1/(1+x²).
2. Partir para o arcsen quando há um x no numerador. \int \frac{x}{\sqrt{1-x^2}}\,dx é uma substituição simples, com resposta -\sqrt{1-x^2} + C.
3. Confundir \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} com \sqrt{1-x^2}. A raiz sozinha tem uma integral mais longa; veja a integral de √(1−x²).
4. Usar a fórmula fora de \lvert x\rvert < a. Para \lvert x\rvert > a a raiz não é real. Integrais como \int \frac{dx}{\sqrt{x^2-1}} dão \ln\lvert x + \sqrt{x^2-1}\rvert.

Para integrar a própria função arco seno, veja a integral de arcsen x. A página do arco seno trata de seu domínio e gráfico.