Integral de √(1−x²): fórmula, pasos y ejemplos

La integral de \sqrt{1-x^2} es \dfrac{1}{2}\left(x\sqrt{1-x^2} + \arcsin x\right) + C. Es el primer ejemplo clásico de sustitución trigonométrica, y es la forma en que el cálculo demuestra el área del círculo.

Para un círculo de radio a:

Gráfica: media circunferencia unidad

Cómo integrar √(1−x²) paso a paso

1. Haz el cambio. Sea x = \sin\theta con -\frac{\pi}{2} \le \theta \le \frac{\pi}{2}. Entonces dx = \cos\theta\,d\theta y \sqrt{1-\sin^2\theta} = \cos\theta, que no es negativo en este intervalo.
2. Reescribe. \int \sqrt{1-x^2}\,dx = \int \cos\theta\cdot\cos\theta\,d\theta = \int \cos^2\theta\,d\theta
3. Usa la identidad del ángulo mitad \cos^2\theta = \frac{1 + \cos 2\theta}{2}, como en la página de la integral de cos² x: \int \cos^2\theta\,d\theta = \frac{\theta}{2} + \frac{\sin 2\theta}{4} + C = \frac{\theta}{2} + \frac{\sin\theta\cos\theta}{2} + C
4. Vuelve a x. \theta = \arcsin x, \sin\theta = x y \cos\theta = \sqrt{1-x^2}: \frac{1}{2}\arcsin x + \frac{1}{2}x\sqrt{1-x^2} + C

La versión general usa x = a\sin\theta de la misma forma. La guía de sustitución trigonométrica trata las otras dos formas de raíz, \sqrt{a^2+x^2} y \sqrt{x^2-a^2}.

Comprobación derivando

Deriva cada parte. Por la regla del producto:

y \frac{d}{dx}\arcsin x = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}. Al sumarlas:

La mitad de eso es \sqrt{1-x^2}, como debe ser.

Integrales definidas y el área del círculo

En el intervalo completo, el término con raíz se anula en los dos extremos:

Al duplicarla para incluir la mitad inferior se obtiene el área del círculo unidad, \pi. Con radio a, los mismos pasos dan \int_{-a}^{a}\sqrt{a^2-x^2}\,dx = \frac{\pi a^2}{2}, así que un círculo completo tiene área \pi a^2.

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1: parte de un círculo. Calcula \int_0^{1/2}\sqrt{1-x^2}\,dx.

El dibujo: un sector de 30^\circ de área \frac{\pi}{12} más un triángulo de área \frac{\sqrt{3}}{8}.

Ejemplo 2: radio 3. \int_{-3}^{3}\sqrt{9-x^2}\,dx = \frac{9\pi}{2}, medio círculo de radio 3. No hace falta calcular ninguna antiderivada en cuanto reconoces la forma.

Ejemplo 3: una antiderivada general. Con a = 2:

Ejemplo 4: un círculo desplazado. \int_0^2\sqrt{2x - x^2}\,dx. Completa el cuadrado: 2x - x^2 = 1 - (x-1)^2. Es la media circunferencia unidad centrada en x = 1, así que el resultado es \frac{\pi}{2}.

Errores comunes

1. Probar u = 1 - x^2. Necesitarías un x\,dx que encajara con du, y no lo hay.
2. Olvidar volver a la variable original. Un resultado en \theta no está terminado. Usa un triángulo rectángulo con cateto opuesto x e hipotenusa 1 para leer \cos\theta = \sqrt{1-x^2}.
3. Perder el \frac{a^2}{2}. En la fórmula general el término del arcoseno lleva \frac{a^2}{2}, no \frac{1}{2}.
4. Confundirla con \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}. Esa se integra directamente como \arcsin x; consulta la integral de 1/√(1−x²).