Regra da potência para derivadas: fórmula, exemplos e demonstração
A regra da potência: a derivada de x^n é n·x^(n−1). Fórmula, exemplos com expoentes negativos e fracionários, uma demonstração curta e erros comuns.
Regras de derivação Atualizado 3 min de leitura
Visão geral
- Aplica-se a
- Qualquer potência de x com expoente constante n (positivo, negativo, fracionário ou decimal)
- Em palavras
- Desça o expoente para a frente e depois subtraia um do expoente
- Não se aplica a
- Exponenciais como 2^x ou e^x, em que a variável está no expoente
- Versão para integrais
- \int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C para n \ne -1
- Regras relacionadas
- Regra da constante multiplicativa, regra da soma, regra da cadeia
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A regra da potência é o primeiro atalho de derivação que a maioria dos estudantes aprende, e o mais usado. Ela deriva qualquer potência de x em um único passo, sem precisar de limites.
A fórmula da regra da potência
Para qualquer expoente constante n:
Dois movimentos: desça o expoente como coeficiente e depois subtraia um do expoente.
Exemplos
| Função | Reescrita | Derivada |
|---|---|---|
| x^5 | x^5 | 5x^4 |
| x | x^1 | 1 |
| 7 | 7x^0 | 0 |
| \frac{1}{x^2} | x^{-2} | -2x^{-3} = -\frac{2}{x^3} |
| \sqrt{x} | x^{1/2} | \frac{1}{2}x^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{x}} |
| \sqrt[3]{x^2} | x^{2/3} | \frac{2}{3}x^{-1/3} |
Exemplo: um polinômio. Combine a regra da potência com a regra da soma e a regra da constante multiplicativa:
Exemplo: uma potência negativa. Para derivar f(x) = \frac{3}{x^4}, reescreva como 3x^{-4}:
Repare que o expoente vai de -4 para -5, e não para -3. Subtrair um de um número negativo o torna mais negativo.
Quando usar a regra da potência
Use sempre que vir uma variável elevada a uma potência constante, depois de qualquer reescrita. Na prática, isso significa:
- polinômios, um termo de cada vez;
- raízes, depois de convertê-las em expoentes fracionários;
- termos com x no denominador, depois de convertê-los em expoentes negativos;
- a camada externa de uma função como (x^2+1)^5, junto com a regra da cadeia.
Se o expoente contém x, como em x^x ou 3^x, a regra da potência é a ferramenta errada. Esses casos pedem as regras da exponencial ou a derivação logarítmica.
A regra da potência ao contrário: integração
A integração desfaz a derivação, então a regra da potência tem uma imagem espelhada. Para integrar x^n, some um ao expoente e depois divida pelo novo expoente:
Por exemplo, \int x^3\,dx = \frac{x^4}{4} + C. A única exceção é n = -1, em que \int x^{-1}\,dx = \ln|x| + C. Veja a regra da potência inversa.
Por que a regra da potência funciona
Para um expoente inteiro, expanda (x+h)^n pelo binômio de Newton dentro da definição da derivada por limite:
Quando h \to 0, todo termo que contém h desaparece, restando nx^{n-1}. A regra se estende a todos os expoentes reais por derivação logarítmica.
Erros comuns
- Subtrair um antes de descer o expoente. \frac{d}{dx}x^4 é 4x^3, não 3x^3.
- Usá-la em exponenciais. \frac{d}{dx}2^x \ne x \cdot 2^{x-1}. A variável está no expoente, então você precisa da regra da exponencial.
- Não reescrever antes. Você não pode aplicar a regra da potência a \frac{1}{x^2} até escrevê-la como x^{-2}.
- Esquecer a regra da cadeia. Para (3x+1)^4, a regra da potência dá só parte da resposta. Você também multiplica pela derivada de dentro, 3. Veja a regra da cadeia.
Para uma explicação mais longa com mais exercícios, leia o guia completo da regra da potência.
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A regra da potência
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