Regra da constante multiplicativa na derivada: fórmula e exemplos
A regra da constante multiplicativa: a derivada de c·f(x) é c·f'(x). A fórmula, exemplos resolvidos, uma demonstração rápida e os erros mais comuns.
Regras de derivação Atualizado 3 min de leitura
Visão geral
- Aplica-se a
- Uma constante c multiplicando qualquer função diferenciável f
- Em palavras
- Mantenha a constante e derive a função
- Inclui divisão
- Dividir por uma constante k é multiplicar por \frac{1}{k}
- Versão para integrais
- \int c\,f(x)\,dx = c \int f(x)\,dx
- Regras relacionadas
- Regra da potência, regra da soma, regra do produto
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A regra da constante multiplicativa diz que um fator constante pode ser colocado para fora da derivada. Para derivar c\,f(x), mantenha o c e derive f. Junto com a regra da potência e a regra da soma, ela permite derivar qualquer polinômio de cabeça.
A fórmula da regra da constante multiplicativa
Se c é uma constante e f é diferenciável, então
Geometricamente, multiplicar uma função por c estica seu gráfico verticalmente por um fator c. Todas as inclinações também são multiplicadas por c.
Exemplos
| Função | Derivada |
|---|---|
| 5x^3 | 5 \cdot 3x^2 = 15x^2 |
| -4\sin x | -4\cos x |
| 2e^x | 2e^x |
| \frac{x^2}{7} | \frac{2x}{7} |
| \pi x | \pi |
| \frac{3}{x^2} = 3x^{-2} | -6x^{-3} = -\frac{6}{x^3} |
Exemplo: uma constante no denominador. A função \frac{1}{3x} tem uma variável no denominador, então reescreva-a primeiro como \frac{1}{3}x^{-1}:
Exemplo: combinada com a regra da soma. Cada termo mantém seu coeficiente:
Como reconhecer uma constante multiplicativa
Uma constante multiplicativa é qualquer fator que não muda quando x muda. Procure-a nestes lugares:
- Um número na frente de um termo, como o 5 em 5x^3 ou o -4 em -4\sin x.
- Um número no denominador, como o 7 em \frac{x^2}{7}. Dividir por 7 é o mesmo que multiplicar por \frac{1}{7}.
- Uma constante com nome, como \pi, e^2 ou \ln 3. Parecem funções ou potências, mas não contêm x, então são apenas números.
- Uma letra que representa um valor fixo, como a, k ou m em uma fórmula de física. Em \frac{d}{dx}\,k x^2 = 2kx, o k é tratado exatamente como um número.
Se o fator contém x em qualquer lugar, ele não é constante, e você precisa da regra do produto ou da regra do quociente.
Por que a regra da constante multiplicativa funciona
Pela definição da derivada como limite, a constante sai do quociente de diferenças e depois sai do limite:
O segundo passo usa a propriedade da constante multiplicativa dos limites, uma das propriedades dos limites.
Linearidade
A regra da constante multiplicativa e a regra da soma, juntas, dizem que a derivação é linear:
para quaisquer constantes a e b. A integração tem a mesma propriedade, e é por isso que \int 5x^2\,dx = 5\int x^2\,dx.
Erros comuns
- Usar a regra do produto quando não é necessário. Para 7x^3 a regra do produto dá 0 \cdot x^3 + 7 \cdot 3x^2, o que está correto, mas é lento. Escreva direto 21x^2.
- Confundir com a regra da constante. \frac{d}{dx}\,8x = 8, não 0. Só uma constante sozinha vira 0.
- Tirar uma constante de dentro do argumento da função. \sin(3x) não é 3\sin x. Uma constante dentro da função exige a regra da cadeia: \frac{d}{dx}\sin(3x) = 3\cos(3x).
- Tratar uma variável como constante. Em x\,e^x, o x não é constante, então você precisa da regra do produto.
Para praticar mais a combinação dessas regras, veja o guia completo da regra da potência.
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