Regra da soma e da diferença para derivadas: fórmula e exemplos
A regra da soma e da diferença: derive uma soma ou diferença termo a termo. A fórmula, exemplos resolvidos, uma demonstração e onde os alunos erram.
Regras de derivação Atualizado 3 min de leitura
Visão geral
- Aplica-se a
- Qualquer soma ou diferença de funções diferenciáveis, com qualquer número de termos
- Em palavras
- Derive termo a termo e mantenha os sinais de mais e de menos
- Combinada com
- A regra da constante multiplicativa, dando (af + bg)' = af' + bg'
- Não se aplica a
- Produtos e quocientes, que precisam das regras do produto e do quociente
- Versão para integrais
- \int [f(x) \pm g(x)]\,dx = \int f(x)\,dx \pm \int g(x)\,dx
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A regra da soma e da diferença diz que você pode derivar uma soma ou diferença um termo de cada vez. A derivada de f + g é f' + g', e a derivada de f - g é f' - g'. É a regra que torna os polinômios fáceis.
A fórmula da regra da soma e da diferença
Se f e g são diferenciáveis, então
A regra vale para qualquer número de termos. Combinada com a regra da constante multiplicativa, ela diz que a derivação é linear:
Exemplos
Exemplo 1: um polinômio. Use a regra da potência em cada termo e a regra da constante na constante:
Exemplo 2: tipos de função misturados. Cada termo usa sua própria regra:
Exemplo 3: uma diferença com logaritmo.
Exemplo 4: separe a fração primeiro. Quando o denominador tem um único termo, divida cada termo do numerador por ele e depois use a regra da soma:
Isso evita completamente a regra do quociente.
Por que a regra da soma funciona
Na definição de derivada por limite, reagrupe o quociente de diferenças em dois quocientes de diferenças:
Quando h \to 0, a propriedade da soma para limites (veja as propriedades dos limites) transforma o lado direito em f'(x) + g'(x). A regra da diferença é o mesmo argumento com sinal de menos.
O que a regra da soma não cobre
A regra da soma é tão natural que às vezes os alunos supõem que produtos e quocientes se comportam da mesma forma. Não se comportam:
| Expressão | Regra correta | Derivada correta |
|---|---|---|
| x^2 + \sin x | Regra da soma | 2x + \cos x |
| x^2 \sin x | Regra do produto | 2x\sin x + x^2\cos x |
| \frac{x^2}{\sin x} | Regra do quociente | \frac{2x\sin x - x^2\cos x}{\sin^2 x} |
| \sin(x^2) | Regra da cadeia | 2x\cos(x^2) |
Confira que a derivada de x^2 \sin x não é 2x\cos x: por exemplo, em x = \frac{\pi}{2} a derivada correta é \pi, enquanto 2x\cos x dá 0.
Erros comuns
- Perder um sinal de menos. Em \frac{d}{dx}(x^3 - \cos x), a derivada de \cos x é -\sin x, então a resposta é 3x^2 + \sin x. Acompanhe os dois sinais.
- Estender a regra para produtos. (fg)' \ne f'g'. Use a regra do produto.
- Separar uma fração com soma no denominador. \frac{1}{x + 1} \ne \frac{1}{x} + 1. Só dá para separar quando o denominador tem um único termo.
Para um conjunto completo de exemplos com polinômios e a regra da potência, leia o guia completo da regra da potência.
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