Fórmula de integração por partes: ∫u dv = uv − ∫v du, LIATE e exemplos
A fórmula de integração por partes ∫u dv = uv − ∫v du, como o LIATE escolhe u, a versão para integral definida e exemplos com ln x, x·eˣ e x·cos x.
Regras de integração Atualizado 3 min de leitura
Visão geral
- Inverte
- A regra do produto para derivadas
- Use quando
- O integrando é um produto de dois tipos diferentes de função, como x\,e^x ou x\cos x
- Escolha de u
- LIATE: Logarítmica, Inversa trigonométrica, Algébrica, Trigonométrica, Exponencial
- Versão definida
- \int_a^b u\,dv = \big[uv\big]_a^b - \int_a^b v\,du
- Objetivo
- A nova integral \int v\,du deve ser mais simples que a original
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A integração por partes é a regra do produto das derivadas, reorganizada para integrar produtos. Ela troca uma integral por outra, e quando u e dv são bem escolhidos, a nova integral é mais fácil que a original.
A fórmula de integração por partes
Para funções diferenciáveis u e v:
Em notação de funções, com u = f(x) e dv = g'(x)\,dx:
Para uma integral definida, calcule o termo uv nos limites de integração:
De onde ela vem
A regra do produto diz que (uv)' = u'v + uv'. Integre os dois lados e reorganize:
Escolhendo u com o LIATE
Escolha como u o fator que fica mais simples ao ser derivado, e como dv um fator que você consegue integrar. O LIATE ordena as opções para u:
| Letra | Tipo | Exemplo |
|---|---|---|
| L | Logarítmica | \ln x |
| I | Inversa trigonométrica | \arctan x |
| A | Algébrica | x^2, 3x + 1 |
| T | Trigonométrica | \sin x, \cos x |
| E | Exponencial | e^x, 2^x |
Tome u do primeiro tipo presente. O LIATE é uma orientação, não uma lei, mas funciona para quase todos os exercícios de livro.
Exemplos resolvidos
Exemplo 1: \int x\,e^x\,dx. Algébrica vem antes de exponencial, então u = x e dv = e^x\,dx. Logo du = dx e v = e^x:
Exemplo 2: \int x\cos x\,dx. Tome u = x, dv = \cos x\,dx, então du = dx e v = \sin x:
Exemplo 3: \int \ln x\,dx. Há só um fator, então tome u = \ln x e dv = dx. Logo du = \frac{1}{x}\,dx e v = x:
Exemplo 4: uma integral definida. Usando o Exemplo 1:
Exemplo 5: partes duas vezes. Para \int x^2 e^x\,dx, a primeira rodada com u = x^2 deixa \int 2x\,e^x\,dx, que exige uma segunda rodada. O resultado é
Exemplo 6: a integral volta. Para \int e^x \sin x\,dx, aplicar partes duas vezes devolve a integral original I com sinal de menos. Resolvendo I = e^x\sin x - e^x\cos x - I, obtemos
Conferindo a resposta
Derive com a regra do produto e você deve obter de volta o integrando. Para o Exemplo 2:
A conferência é rápida e pega a maioria dos erros de sinal. Um hábito útil: depois de escolher u e dv, escreva u, du, v e dv num pequeno quadro dois por dois antes de substituir na fórmula, para não perder nada.
Erros comuns
- Escolher u ao contrário. Com u = e^x e dv = x\,dx, a nova integral \int \frac{x^2}{2}e^x\,dx é mais difícil que a inicial.
- Perder o sinal de menos. A fórmula é uv - \int v\,du, com menos. Quando usar partes duas vezes, acompanhe os sinais com cuidado.
- Esquecer de calcular uv nos limites. Numa integral definida, uv também precisa ser calculado de a até b.
- Somar +C ao v. Você pode tomar qualquer antiderivada para v. Um único +C no final basta.
Quando um produto é na verdade uma composição vezes a derivada interna, a integração por substituição é mais rápida. Para integração tabular, mais prática com o LIATE e exemplos mais difíceis, leia o guia completo de integração por partes.
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