Teste da razão para séries: fórmula, condições e exemplos

O teste da razão (também chamado de critério de d'Alembert) decide se uma série converge perguntando com que rapidez seus termos encolhem. Se, a partir de certo ponto, cada termo for uma fração fixa menor que o anterior, a série se comporta como uma série geométrica convergente.

O teste da razão

Seja \sum a_n uma série de termos não nulos (pelo menos para n grande), e seja

Se o limite não existir e não for \infty, o teste, nesta forma, não se aplica.

Por que funciona

Se L < 1, escolha um número r com L < r < 1. Para n grande, cada \lvert a_{n+1}\rvert é no máximo r\lvert a_n\rvert, então a cauda de \sum \lvert a_n\rvert é limitada por uma série geométrica de razão r, que converge. Se L > 1, os termos acabam crescendo em módulo, então não podem tender a 0, e o teste do termo geral dá a divergência.

Como aplicar

1. Escreva a_{n+1} trocando cada n em a_n por n + 1.
2. Forme \frac{a_{n+1}}{a_n} e simplifique. Inverta a fração de baixo e multiplique.
3. Use \frac{(n+1)!}{n!} = n + 1 e \frac{c^{n+1}}{c^n} = c para cancelar.
4. Calcule o limite do valor absoluto e compare com 1.

Exemplos resolvidos

Exemplo 1: uma potência vezes uma exponencial. Para \sum \frac{n}{2^n}:

Como L = \frac{1}{2} < 1, a série converge.

Exemplo 2: um fatorial. Para \sum \frac{3^n}{n!}:

L = 0 < 1, então converge. (Sua soma é e^3 - 1 começando em n = 1.)

Exemplo 3: divergência. Para \sum \frac{n!}{10^n}:

A série diverge. O fatorial acaba superando qualquer exponencial.

Exemplo 4: sinais alternados. Para \sum \frac{(-2)^n}{n^2}, o valor absoluto elimina o sinal:

L = 2 > 1, então a série diverge.

Exemplo 5: inconclusivo. Para \sum \frac{1}{n^2}, \frac{n^2}{(n+1)^2} \to 1. O teste da razão não dá resposta, embora a série convirja como série p com p = 2.

Raio de convergência

O teste da razão é a principal ferramenta para séries de potências. Para \sum \frac{x^n}{n}:

A série converge quando \lvert x\rvert < 1, então o raio de convergência é 1. As extremidades x = \pm 1 dão L = 1 e precisam ser verificadas separadamente.

Teste da razão e teste da raiz

O teste da raiz usa L = \lim \sqrt[n]{\lvert a_n\rvert} com os mesmos três resultados possíveis. Ele é mais fácil quando o termo inteiro está elevado à n-ésima potência, como em \sum \left(\frac{2n}{3n+1}\right)^n, em que \sqrt[n]{a_n} = \frac{2n}{3n+1} \to \frac{2}{3}. O teste da razão é mais fácil quando aparecem fatoriais, porque fatoriais não têm raiz n-ésima simples, mas se cancelam bem numa razão. Quando os dois se aplicam, dão o mesmo L.

Erros comuns

1. Usá-lo em expressões racionais ou com raízes em n. Qualquer coisa como \frac{n^2+1}{n^4} dá L = 1. Use um teste de comparação ou o critério da série p.
2. Interpretar L = 1 como convergência ou divergência. Significa que o teste falhou.
3. Inverter a razão. É \frac{a_{n+1}}{a_n}, o próximo termo sobre o atual. A razão invertida troca o significado do resultado.
4. Errar a álgebra dos fatoriais. (2(n+1))! = (2n+2)!, que é (2n+2)(2n+1)\cdot(2n)!, e não 2(n+1)!.

Para ver como o teste da razão se relaciona com os testes da raiz, da comparação e da integral, leia o guia completo de testes de convergência.