Critère de d'Alembert pour les séries : formule et exemples

Le critère de d'Alembert (ou règle de d'Alembert) détermine si une série converge en regardant à quelle vitesse ses termes diminuent. Si, à partir d'un certain rang, chaque terme est plus petit que le précédent d'une fraction fixe, la série se comporte comme une série géométrique convergente.

Le critère de d'Alembert

Soit \sum a_n une série à termes non nuls (au moins pour n assez grand), et posons

Si la limite n'existe pas et n'est pas \infty, le critère, sous cette forme, ne s'applique pas.

Pourquoi ça marche

Si L < 1, choisissons un nombre r tel que L < r < 1. Pour n assez grand, chaque \lvert a_{n+1}\rvert est au plus r\lvert a_n\rvert, donc le reste de \sum \lvert a_n\rvert est majoré par une série géométrique de raison r, qui converge. Si L > 1, les termes finissent par croître en valeur absolue, donc ils ne peuvent pas tendre vers 0, et le critère du terme général donne la divergence.

Comment l'appliquer

1. Écrivez a_{n+1} en remplaçant chaque n de a_n par n + 1.
2. Formez \frac{a_{n+1}}{a_n} et simplifiez. Multipliez par l'inverse de la fraction du dénominateur.
3. Utilisez \frac{(n+1)!}{n!} = n + 1 et \frac{c^{n+1}}{c^n} = c pour simplifier.
4. Prenez la limite de la valeur absolue et comparez-la à 1.

Exemples corrigés

Exemple 1 : une puissance multipliée par une exponentielle. Pour \sum \frac{n}{2^n} :

Comme L = \frac{1}{2} < 1, la série converge.

Exemple 2 : une factorielle. Pour \sum \frac{3^n}{n!} :

L = 0 < 1, donc elle converge. (Sa somme vaut e^3 - 1 lorsqu'elle commence à n = 1.)

Exemple 3 : divergence. Pour \sum \frac{n!}{10^n} :

La série diverge. La factorielle finit toujours par l'emporter sur n'importe quelle exponentielle.

Exemple 4 : des signes alternés. Pour \sum \frac{(-2)^n}{n^2}, la valeur absolue supprime le signe :

L = 2 > 1, donc la série diverge.

Exemple 5 : on ne peut pas conclure. Pour \sum \frac{1}{n^2}, \frac{n^2}{(n+1)^2} \to 1. Le critère de d'Alembert ne donne aucune réponse, pourtant la série converge : c'est une série de Riemann (p-série) avec p = 2.

Rayon de convergence

Le critère de d'Alembert est l'outil principal pour les séries entières. Pour \sum \frac{x^n}{n} :

La série converge lorsque \lvert x\rvert < 1, donc le rayon de convergence vaut 1. Les bornes x = \pm 1 donnent L = 1 et doivent être étudiées séparément.

Critère de d'Alembert ou critère de Cauchy

Le critère de Cauchy (ou règle de la racine) utilise L = \lim \sqrt[n]{\lvert a_n\rvert}, avec les trois mêmes conclusions. Il est plus simple lorsque tout le terme est élevé à la puissance n, comme dans \sum \left(\frac{2n}{3n+1}\right)^n, où \sqrt[n]{a_n} = \frac{2n}{3n+1} \to \frac{2}{3}. Le critère de d'Alembert est plus simple en présence de factorielles, car elles n'ont pas de racine n-ième simple mais se simplifient très bien dans un quotient. Quand les deux s'appliquent, ils donnent le même L.

Erreurs fréquentes

1. L'utiliser sur des fractions rationnelles ou des racines en n. Toute expression comme \frac{n^2+1}{n^4} donne L = 1. Utilisez plutôt une comparaison ou les séries de Riemann (p-séries).
2. Interpréter L = 1 comme une convergence ou une divergence. Cela signifie que le critère a échoué.
3. Inverser le quotient. C'est \frac{a_{n+1}}{a_n}, le terme suivant divisé par le terme courant. Le quotient inversé change le sens du résultat.
4. Se tromper dans le calcul des factorielles. (2(n+1))! = (2n+2)!, qui vaut (2n+2)(2n+1)\cdot(2n)!, et non 2(n+1)!.

Pour voir comment le critère de d'Alembert s'articule avec le critère de Cauchy, la comparaison et la comparaison série-intégrale, lisez le guide complet des critères de convergence.