Teste do termo geral (teste da divergência): enunciado e exemplos
Teste do termo geral: se os termos de uma série não tendem a 0, a série diverge. O enunciado, por que ele não prova convergência e exemplos resolvidos.
Regras de séries Atualizado 3 min de leitura
Visão geral
- Também chamado de
- Teste da divergência, critério do termo geral
- Pode provar
- Apenas divergência
- Não pode provar
- Convergência. Se a_n \to 0, o teste é inconclusivo
- Exemplo clássico
- \sum \frac{1}{n} tem a_n \to 0 e mesmo assim diverge
- Quando usar
- Primeiro, antes de qualquer outro teste de convergência
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O teste do termo geral (ou teste da divergência) é a verificação mais rápida no estudo de séries. Uma série só pode somar um número finito se seus termos encolherem até zero; se isso não acontece, a série diverge.
O enunciado
Para qualquer série \sum a_n:
A forma equivalente é uma condição necessária para a convergência:
A recíproca é falsa. Termos tendendo a zero é condição necessária, não suficiente.
Por que funciona
Seja S_n a n-ésima soma parcial. Então a_n = S_n - S_{n-1}. Se a série converge para S, tanto S_n quanto S_{n-1} tendem a S, logo
Como ler o resultado
| Valor de \lim a_n | Conclusão |
|---|---|
| Um número diferente de zero | Diverge |
| \pm\infty | Diverge |
| Não existe | Diverge |
| 0 | Inconclusivo: use outro teste |
Exemplos resolvidos
Exemplo 1: uma expressão racional. Para \sum \frac{n}{2n+1}:
A série diverge. Você está somando números próximos de \frac{1}{2} para sempre.
Exemplo 2: termos oscilantes. Para \sum (-1)^n, os termos alternam entre 1 e -1, então \lim a_n não existe. A série diverge.
Exemplo 3: um termo trigonométrico. Para \sum \cos\left(\frac{1}{n}\right), temos \frac{1}{n} \to 0 e \cos 0 = 1, então a_n \to 1. A série diverge.
Exemplo 4: um limite famoso. Para \sum \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n, os termos tendem a e \ne 0. A série diverge.
Exemplo 5: inconclusivo. Para \sum \frac{1}{n^2} e \sum \frac{1}{n}, os termos tendem a 0 nos dois casos. O teste não diz nada. Na verdade, \sum \frac{1}{n^2} converge e \sum \frac{1}{n} diverge, o que outros testes (o teste da integral ou o critério da série p) revelam.
Divergência e convergência num relance
Pense no teste como um portão. Toda série convergente passa por ele, porque seus termos precisam encolher até zero. Muitas séries divergentes são barradas no portão, mas algumas, como a série harmônica, passam e só revelam sua divergência com um teste mais forte. Então uma reprovação é uma resposta final, enquanto uma aprovação só significa que o trabalho de verdade ainda está por vir. Essa lógica de mão única é a coisa mais importante a lembrar sobre o teste.
Erros comuns
- Concluir convergência a partir de a_n \to 0. Esse é o erro mais comum em séries. A série harmônica é o contraexemplo.
- Calcular o limite das somas parciais em vez dos termos. O teste usa a_n, os termos individuais.
- Esquecer o caso "não existe". Termos oscilantes como (-1)^n ou \sin n também não tendem a 0.
- Pular o teste. Aplicar o teste da razão em \sum \frac{n}{2n+1} dá limite 1 e nenhuma resposta, enquanto o teste do termo geral resolve na hora.
Onde ele se encaixa
Use o teste do termo geral como primeiro passo para toda série. Se os termos tendem a zero, siga em frente: tente a fórmula da série geométrica para razões constantes, o teste da série alternada para sinais alternados e o teste da razão para fatoriais e exponenciais. O guia completo de testes de convergência mostra como escolher entre eles.
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O teste do termo geral
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