Fórmula da série geométrica: soma a/(1 − r), convergência e exemplos

Uma série geométrica soma termos em que cada um vem do anterior multiplicado pelo mesmo número r. É uma das poucas séries infinitas cuja soma exata você consegue escrever, o que faz dela a referência com a qual todo teste de convergência é comparado.

A fórmula da série geométrica

Com primeiro termo a e razão r:

Se \lvert r\rvert \ge 1 e a \ne 0, a série diverge.

A soma dos primeiros N termos é finita para todo r \ne 1:

Por que a fórmula funciona

Multiplique S_N por r e subtraia. Quase todos os termos se cancelam:

Quando \lvert r\rvert < 1, r^N \to 0 quando N \to \infty, então S_N \to \frac{a}{1-r}. Quando \lvert r\rvert \ge 1, r^N não tende a zero e as somas parciais não têm limite finito.

Como usar

1. Encontre a: o primeiro termo da série como ela está escrita. Substitua o índice inicial.
2. Encontre r: divida qualquer termo pelo anterior.
3. Verifique se \lvert r\rvert < 1. Se não for, pare: a série diverge.
4. Calcule \frac{a}{1-r}.

Exemplos resolvidos

Exemplo 1: um clássico. 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \cdots tem a = 1, r = \frac{1}{2}:

Exemplo 2: o índice não começa em 0. Em \sum_{n=1}^{\infty} 3\left(\frac{2}{3}\right)^n o primeiro termo é 3\cdot\frac{2}{3} = 2, não 3:

Exemplo 3: uma razão negativa. \sum_{n=0}^{\infty} \left(-\frac{1}{3}\right)^n tem a = 1, r = -\frac{1}{3}:

Exemplo 4: uma dízima periódica. 0.272727\ldots = \frac{27}{100} + \frac{27}{10000} + \cdots tem a = \frac{27}{100} e r = \frac{1}{100}:

Exemplo 5: divergência. \sum_{n=0}^{\infty} \left(\frac{5}{4}\right)^n tem r = \frac{5}{4} > 1, então diverge. Os termos crescem em vez de diminuir.

Somas finitas e infinitas

A fórmula finita funciona para toda razão exceto r = 1, então até uma série com r = 3 tem uma soma perfeitamente válida dos dez primeiros termos: \sum_{n=0}^{9} 3^n = \frac{1 - 3^{10}}{1 - 3} = 29524. Só a soma infinita precisa de \lvert r\rvert < 1. Quando r = 1, todo termo é igual a a, então os primeiros N termos somam Na, e a série infinita diverge.

Erros comuns

1. Usar o coeficiente em vez do primeiro termo. Quando a soma começa em n = 1 ou depois, calcule o primeiro termo diretamente.
2. Ignorar a condição. \frac{a}{1-r} com r = 2 dá -a, um número sem sentido. Sempre verifique \lvert r\rvert < 1 primeiro.
3. Confundir outras séries com geométricas. \sum \frac{1}{n^2} e \sum \frac{1}{2n} não têm razão constante, então a fórmula não se aplica.
4. Perder um sinal em r. Em uma série geométrica alternada, r é negativo, e 1 - r vira 1 + \lvert r\rvert.

Aonde isso leva

As séries geométricas são o modelo do teste da razão, que pergunta se uma série acaba se comportando como uma geométrica com \lvert r\rvert < 1. Elas também dão a primeira série de potências, \frac{1}{1-x} = \sum x^n para \lvert x\rvert < 1, o ponto de partida das séries de potências. Para mais exemplos, leia o guia completo de séries geométricas.