Extremwertaufgaben lösen: Ein 5-Schritte-Verfahren mit Beispielen

Welche Maße ergeben die größte Schachtel, das größte Feld oder die billigste Dose? Das sind Extremwertaufgaben, und hier hören Ableitungen auf, nur Symbole zu sein, und beantworten echte Fragen. Am Anfang fühlen sie sich schwer an, weil die Differentialrechnung zwar einfach ist, das Aufstellen der Funktion aber nicht. Ein festes Verfahren in fünf Schritten nimmt dir das Raten ab.

Was ist eine Extremwertaufgabe?

Eine Extremwertaufgabe (auch Optimierungsaufgabe) fragt nach dem größten oder kleinsten Wert einer Größe unter einer Bedingung. Die Größe, die möglichst groß oder klein werden soll, ist die Zielfunktion. Die Bedingung, die deine Wahl einschränkt, ist die Nebenbedingung.

Die entscheidende Tatsache aus der Analysis: Eine glatte Funktion kann ein Maximum oder Minimum im Inneren eines Intervalls nur dort annehmen, wo ihre Ableitung null (oder nicht definiert) ist, ansonsten nur an einem Rand:

Die ganze Arbeit besteht also darin, die Textaufgabe in eine Funktion einer Variablen zu übersetzen und dann diese Kandidaten zu finden und zu prüfen.

Das 5-Schritte-Verfahren für Extremwertaufgaben

1. Skizzieren und benennen. Zeichne die Situation und bezeichne jede veränderliche Größe mit einer Variablen.
2. Zielfunktion aufstellen. Schreibe eine Formel für die Größe, die maximiert oder minimiert werden soll. Meist hat sie zwei Variablen.
3. Mit der Nebenbedingung auf eine Variable reduzieren. Löse die Nebenbedingung nach einer Variablen auf und setze ein. Gib den Definitionsbereich an: Welche Werte sind praktisch sinnvoll?
4. Kritische Punkte bestimmen. Ableiten, die Ableitung null setzen und auflösen.
5. Prüfen und antworten. Bestätige ein Maximum oder Minimum (Ränder, Vorzeichenwechselkriterium oder zweite Ableitung) und beantworte genau die gestellte Frage, mit Einheiten.

Rechenbeispiel 1: die größte offene Schachtel

Ein quadratisches Stück Pappe hat eine Seitenlänge von 12 cm. Du schneidest an den vier Ecken gleich große Quadrate heraus und klappst die Seiten hoch, sodass eine oben offene Schachtel entsteht. Wie groß müssen die Quadrate sein, damit das Volumen maximal wird?

Schritt 1. Skizzieren und benennen. Sei x die Seitenlänge jedes ausgeschnittenen Quadrats. Das wird die Höhe der Schachtel. Die Grundfläche ist ein Quadrat mit der Seite 12 - 2x, weil an jedem Ende x wegfällt.

Schritt 2. Zielfunktion. Das Volumen ist Grundfläche mal Höhe:

Schritt 3. Definitionsbereich. Hier steckt die Nebenbedingung schon drin, V ist also eine Funktion von x allein. Du kannst kein negatives Quadrat ausschneiden und nicht mehr als die halbe Seitenlänge, also 0 \le x \le 6.

Schritt 4. Kritische Punkte. Verwende die Produktregel und die Kettenregel:

V' = 0 gilt bei x = 6 und x = 2.

Schritt 5. Prüfen. Vergleiche kritische Punkte und Ränder: V(0) = 0, V(6) = 0 und V(2) = 2\cdot 8^2 = 128.

Antwort: Schneide Quadrate mit 2 cm Seitenlänge aus. Die Schachtel misst 8 mal 8 mal 2 cm und hat ein Volumen von 128 cm³.

Rechenbeispiel 2: ein Feld am Fluss einzäunen

Eine Landwirtin hat 600 m Zaun, um ein rechteckiges Feld an einem geraden Fluss einzuzäunen. Entlang des Flusses ist kein Zaun nötig. Welche Maße ergeben die größte Fläche?

Schritt 1. Skizzieren und benennen. Sei x jede der beiden Seiten senkrecht zum Fluss und y die Seite parallel dazu.

Schritt 2. Zielfunktion. Fläche A = xy.

Schritt 3. Nebenbedingung. Der Zaun deckt zwei Seiten der Länge x und eine der Länge y ab: 2x + y = 600, also y = 600 - 2x. Einsetzen:

Schritt 4. Kritische Punkte. A'(x) = 600 - 4x = 0 ergibt x = 150.

Schritt 5. Prüfen. A''(x) = -4 < 0, der Graph ist also rechtsgekrümmt und x = 150 ist ein Maximum. Die Ränder liefern A(0) = A(300) = 0, was das bestätigt.

Antwort: Die Seiten senkrecht zum Fluss sind 150 m lang, die Seite am Fluss 600 - 300 = 300 m, für eine maximale Fläche von 45{,}000 Quadratmetern.

Beachte, dass die Lösung kein Quadrat ist. Weil der Fluss eine Zaunseite einspart, lohnt es sich, die parallele Seite doppelt so lang zu machen.

Rechenbeispiel 3: die Dose mit dem geringsten Blechverbrauch

Eine geschlossene zylindrische Dose soll 1000 Kubikzentimeter fassen. Welcher Radius und welche Höhe minimieren ihre Oberfläche?

Schritt 1. Skizzieren und benennen. Radius r, Höhe h, beide in Zentimetern.

Schritt 2. Zielfunktion. Die Oberfläche besteht aus Boden und Deckel plus Mantel:

Schritt 3. Nebenbedingung. Das Volumen ist fest: \pi r^2 h = 1000, also h = \dfrac{1000}{\pi r^2}. Einsetzen:

Schritt 4. Kritische Punkte.

Schritt 5. Prüfen. Der Definitionsbereich r > 0 hat keine Ränder, also nimm die zweite Ableitung: S''(r) = 4\pi + \dfrac{4000}{r^3} > 0 für jedes r > 0. Die Kurve ist überall linksgekrümmt, dieser kritische Punkt ist also das globale Minimum.

Für die Höhe nutzt du \pi r^3 = 500: h = \dfrac{1000}{\pi r^2} = \dfrac{1000\,r}{\pi r^3} = \dfrac{1000\,r}{500} = 2r \approx 10.84.

Antwort: r \approx 5.42 cm und h \approx 10.84 cm, das sind etwa 554 Quadratzentimeter Blech. Die beste Dose ist genau so hoch wie breit.

Warum du die Ränder prüfen musst

Die Ableitung findet nur Umkehrstellen, an denen die Funktion von Steigen zu Fallen wechselt oder umgekehrt. Ist der Definitionsbereich ein abgeschlossenes Intervall, kann der beste Wert an einem Rand liegen, wo die Ableitung überhaupt nicht null ist.

Bestimme Maximum und Minimum von f(x) = x^3 - 3x auf [0, 3].

• f'(x) = 3x^2 - 3 = 0 ergibt x = \pm 1. Nur x = 1 liegt im Intervall.
• Werte alle Kandidaten aus: f(0) = 0, f(1) = -2, f(3) = 27 - 9 = 18.

Das Minimum ist -2 bei x = 1, aber das Maximum ist 18 am Rand x = 3. Nur die Ableitung null zu setzen hätte es komplett übersehen. Diesen Vergleich von kritischen Punkten und Rändern nennt man Randwertvergleich.

Tipp: Ist der Definitionsbereich offen (wie r > 0 bei der Dose), gibt es keine Ränder zu prüfen. Nutze die zweite Ableitung oder zeige, dass die Funktion erst fällt und dann steigt, um zu beweisen, dass der kritische Punkt global der beste ist. Beide Kriterien findest du unter Kurvendiskussion mit Ableitungen.

Typische Fehler bei Extremwertaufgaben

1. Mit zwei Variablen ableiten. Du musst mit der Nebenbedingung eine Variable eliminieren, bevor du ableitest.
2. Den Definitionsbereich weglassen. Ohne ihn kannst du weder die Ränder prüfen noch unmögliche Lösungen wie x = 6 bei der Schachtel aussortieren.
3. Annehmen, dass der kritische Punkt ein Maximum ist. Es könnte ein Minimum sein. Prüfe immer.
4. Die falsche Frage beantworten. Wird nach der maximalen Fläche gefragt, ist x = 150 nicht die Antwort, sondern 45{,}000 Quadratmeter.
5. Einheiten weglassen. Eine Antwort "2" ist unvollständig. Schreibe "Quadrate mit 2 cm Seitenlänge".
6. Rechenfehler in der Nebenbedingung. Schreibst du beim Zaun 2x + 2y = 600, zäunst du auch die Flussseite ein. Lies die Aufgabe genau.

Kurzübersicht

Mit Übung sicher werden

Extremwertaufgaben belohnen Wiederholung mehr als fast jedes andere Thema, denn das Schwierige ist das Aufstellen, und Ansätze folgen einer Handvoll Muster. Die interaktive Lektion unten führt dich mit sofortiger Rückmeldung durch jeden Schritt, damit du Zielfunktion, Nebenbedingung und Definitionsbereich schnell erkennst, bevor in der Klausur die Uhr läuft.