Partielle Ableitungen: Schreibweise, Bedeutung und Rechenbeispiele

Eine Funktion wie f(x, y) = x^2 y + y^3 hängt von zwei Eingaben gleichzeitig ab, "die Ableitung" ist also keine einzelne Zahl mehr. Veränderst du x ein wenig, ändert sich der Funktionswert auf eine Weise. Veränderst du y, ändert er sich auf eine andere. Partielle Ableitungen messen jede dieser Raten einzeln, und die gute Nachricht: Du kennst schon jede Regel, die du dafür brauchst.

Dieser Artikel erklärt, was partielle Ableitungen bedeuten, wie man sie schreibt, wie man sie berechnet (auch mit der Kettenregel), wie man sie als Steigungen auf einer Fläche liest und was es mit zweiten Ableitungen und dem Satz von Schwarz auf sich hat.

Was ist eine partielle Ableitung?

Die partielle Ableitung von f nach x ist die Änderungsrate von f, wenn sich x ändert und jede andere Variable konstant bleibt. Für eine Funktion zweier Variablen ist sie wie eine gewöhnliche Ableitung über einen Grenzwert definiert:

In jedem Grenzwert bewegt sich nur eine Variable. Das ist die ganze Idee: die anderen einfrieren und ganz normal ableiten.

Schreibweisen für partielle Ableitungen

Für dasselbe gibt es mehrere gleichwertige Schreibweisen:

Ist z = f(x, y), siehst du auch \frac{\partial z}{\partial x} oder z_x.

So bestimmst du partielle Ableitungen

Die Faustregel: Jede Variable außer der, nach der du ableitest, ist eine Konstante. y^3, 5y und \sin y verhalten sich bei \frac{\partial}{\partial x} also alle wie Zahlen.

Rechenbeispiel 1: ein Polynom

Bestimme f_x und f_y für f(x, y) = 3x^2 y + y^3 - 4x.

Schritt 1. Nach x ableiten, y konstant halten.

• 3x^2 y: Die Konstante 3y fährt mit, und x^2 wird zu 2x, das ergibt 6xy.
• y^3: Kein x enthalten, also eine Konstante mit Ableitung 0.
• -4x: Ableitung -4.

Schritt 2. Nach y ableiten, x konstant halten.

• 3x^2 y: Die Konstante 3x^2 fährt mit, und y wird zu 1, das ergibt 3x^2.
• y^3: Ableitung 3y^2.
• -4x: Kein y, also 0.

Rechenbeispiel 2: mit der Kettenregel

Bestimme f_x und f_y für f(x, y) = \sin(x^2 y).

Die äußere Funktion ist \sin u und die innere u = x^2 y, die Kettenregel gilt also genau wie bei Funktionen einer Variablen.

Schritt 1. Nach x. Die innere Ableitung ist \frac{\partial}{\partial x}(x^2 y) = 2xy.

Schritt 2. Nach y. Die innere Ableitung ist \frac{\partial}{\partial y}(x^2 y) = x^2.

Rechenbeispiel 3: ein Logarithmus und drei Variablen

Bestimme \frac{\partial f}{\partial x} für f(x, y) = \ln(x^2 + y^2) und danach g_z für g(x, y, z) = x y^2 z^3.

Schritt 1. Beim Logarithmus leitest du \ln u zu \frac{1}{u} ab und multiplizierst mit \frac{\partial u}{\partial x} = 2x:

Schritt 2. Mit drei Variablen ändert sich nichts: Halte x und y fest und leite z^3 ab.

Was eine partielle Ableitung bedeutet: Steigungen von Schnittkurven

Der Graph von z = f(x, y) ist eine Fläche. Schneidest du sie mit der senkrechten Ebene y = b, entsteht eine Kurve, die Schnittkurve, die nur noch von x abhängt: z = f(x, b). Die partielle Ableitung f_x(a, b) ist die Steigung dieser Kurve bei x = a.

Nimm die Kuppel f(x, y) = 6 - x^2 - 2y^2 im Punkt (1, 1), wo f(1, 1) = 3 gilt.

Schritt 1. Mit y = 1 schneiden. Die Schnittkurve ist z = 6 - x^2 - 2 = 4 - x^2.

Schritt 2. Ableiten. f_x = -2x, also f_x(1, 1) = -2. Die Schnittkurve fällt mit der Steigung -2, wenn x wächst.

Schritt 3. Tangente in der Schnittebene. z = 3 - 2(x - 1) = 5 - 2x.

Schneidest du in der anderen Richtung mit x = 1, erhältst du die Schnittkurve z = 5 - 2y^2. Ihre Steigung bei y = 1 ist f_y(1, 1) = -4y\big|_{y=1} = -4. In diesem Punkt fällt die Kuppel in y-Richtung also doppelt so steil ab wie in x-Richtung.

Angewandt beantwortet f_x die Frage: "Wie schnell ändert sich der Funktionswert pro Einheit x, wenn sich sonst nichts ändert?" Ist P(L, K) die Produktion einer Fabrik aus Arbeit L und Kapital K, dann ist P_L die zusätzliche Produktion durch eine weitere Einheit Arbeit bei festem Kapital.

Zweite partielle Ableitungen

Jede erste partielle Ableitung ist wieder eine Funktion von x und y, du kannst sie also erneut partiell ableiten. Eine Funktion zweier Variablen hat vier zweite partielle Ableitungen:

Die letzten beiden sind die gemischten Ableitungen. Indizes liest du von links nach rechts: f_{xy} heißt "zuerst x, dann y". Die Leibniz-Form listet die Variablen von rechts nach links, also bedeutet auch \frac{\partial^2 f}{\partial y\,\partial x} "zuerst x, dann y".

f_{xx} misst die Krümmung der Schnittkurve in x-Richtung und f_{yy} die Krümmung in y-Richtung. Bei der Kuppel oben ist f_{xx} = -2 und f_{yy} = -4, beide negativ, die Fläche biegt sich also in beiden Richtungen nach unten.

Rechenbeispiel 4: alle vier zweiten Ableitungen

Bestimme alle zweiten partiellen Ableitungen von f(x, y) = x^3 y^2 + 2xy^4.

Schritt 1. Erste partielle Ableitungen.

Schritt 2. f_x ableiten.

Schritt 3. f_y ableiten.

Schritt 4. Gemischte Ableitungen vergleichen. f_{xy} = f_{yx} = 6x^2 y + 8y^3. Sie stimmen überein.

Der Satz von Schwarz: warum gemischte Ableitungen übereinstimmen

Die Übereinstimmung in Beispiel 4 war kein Zufall.

Satz von Schwarz (im Englischen Satz von Clairaut): Sind f_{xy} und f_{yx} beide auf einer offenen Kreisscheibe um (a, b) stetig, dann gilt f_{xy}(a, b) = f_{yx}(a, b).

Polynome, Exponentialfunktionen, Sinus, Kosinus und ihre Kombinationen haben überall dort, wo sie definiert sind, stetige partielle Ableitungen. In der Praxis spielt die Reihenfolge des Ableitens also keine Rolle. Das bringt dir zwei praktische Vorteile:

1. Eine kostenlose Kontrolle. Berechne beide gemischten Ableitungen. Stimmen sie nicht überein, hast du dich verrechnet.
2. Eine Abkürzung. Wähle die einfachere Reihenfolge. Für f(x, y) = y e^{x^2} + x geht f_{yx} schneller: f_y = e^{x^2}, also f_{yx} = 2x e^{x^2}. Nach Schwarz ist f_{xy} dasselbe.

Typische Fehler bei partiellen Ableitungen

1. Die "konstante" Variable mit ableiten. Bei \frac{\partial}{\partial x}(x^2 y^3) bleibt y^3 einfach y^3. Das Ergebnis ist 2xy^3, nicht 6xy^2.
2. Terme behalten, die wegfallen müssten. Jeder Term ohne x, etwa y^3 oder \sin y, hat \frac{\partial}{\partial x} = 0.
3. Die Produktregel verwenden, obwohl sie nicht nötig ist. x^2 y^3 ist beim Ableiten nach x eine Konstante mal x^2, die Produktregel brauchst du also nicht.
4. Den Faktor der Kettenregel vergessen. \frac{\partial}{\partial y} e^{xy} = x e^{xy}, nicht e^{xy}.
5. Die Reihenfolge verwechseln bei f_{xy} und \frac{\partial^2 f}{\partial x\,\partial y}. Nach dem Satz von Schwarz ändert das selten das Ergebnis, aber es ändert den Rechenweg, den du aufschreibst.

Kurzübersicht: partielle Ableitungen

Mit Übung wird es automatisch

Partielle Ableitungen sind die Grundlage für alles Weitere in der mehrdimensionalen Analysis: den Gradienten und Richtungsableitungen, Tangentialebenen, Optimierung und Lagrange-Multiplikatoren. Die interaktive Lektion unten gibt dir Funktionen, die du Variable für Variable ableitest, mit sofortiger Rückmeldung, die dir sagt, welche Variable du versehentlich mit abgeleitet hast.