Die Kettenregel: So funktioniert sie, mit Rechenbeispielen

Mit der Potenzregel erledigst du x^5 in einer Zeile. Aber was ist mit (3x+1)^5? Ausmultiplizieren würde eine ganze Seite Algebra kosten. Die Kettenregel bringt dich in einem Schritt ans Ziel, und sie ist die Regel, die du in der Analysis öfter brauchst als jede andere.

Dieser Leitfaden erklärt, was die Kettenregel besagt, warum sie gilt, wie du die "innere" Funktion findest, und geht Rechenbeispiele durch, denen du Zeile für Zeile folgen kannst.

Was die Kettenregel besagt

Eine verkettete Funktion ist eine Funktion, die in eine andere eingesetzt wird, geschrieben f(g(x)). Wir nennen g die innere Funktion und f die äußere Funktion.

Die Kettenregel lautet:

Lies sie wie ein Rezept:

1. Leite die äußere Funktion ab, lass das Innere aber genau so, wie es ist.
2. Multipliziere mit der Ableitung der inneren Funktion.

Das ist die ganze Regel. Alles andere ist Übung darin, zu erkennen, welcher Teil innen steckt.

In Leibniz-Schreibweise, mit y = f(u) und u = g(x), lautet dieselbe Regel

was so aussieht, als würden sich Brüche kürzen. Es sind eigentlich keine Brüche, aber als Eselsbrücke ist das hervorragend.

Warum sie gilt: Raten multiplizieren sich

Stell dir drei Zahnräder vor. Zahnrad u dreht sich dreimal pro Umdrehung von Zahnrad x. Zahnrad y dreht sich zweimal pro Umdrehung von Zahnrad u. Wie oft dreht sich y pro Umdrehung von x? Sechsmal: 2 \cdot 3.

Ableitungen sind Änderungsraten, und Änderungsraten in einer Kette multiplizieren sich genau auf dieselbe Weise. Mehr sagt die Kettenregel nicht: Die Rate der ganzen Kette ist das Produkt der Raten der einzelnen Glieder.

Der Graph zeigt, warum das Innere wichtig ist. Würdest du \sin(x^2) einfach zu \cos(x^2) ableiten, könnte die Steigung nie größer als 1 werden. Die Kurve wird aber sichtbar steiler, je weiter du dich von 0 entfernst. Genau das erfasst der Faktor 2x aus dem Inneren.

So findest du die innere Funktion

Frag dich: Was würde ich zuletzt rechnen, wenn ich das mit dem Taschenrechner auswerte? Diese letzte Operation ist die äußere Funktion. Worauf sie angewendet wird, ist das Innere.

Ein schneller Test: Ist das Innere einfach x, brauchst du die Kettenregel nicht (die innere Ableitung wäre 1). Sobald das Innere irgendetwas mehr ist, brauchst du sie.

Rechenbeispiel 1: Potenz eines Polynoms

Leite y = (3x+1)^5 ab.

Schritt 1. Benenne die Teile. Außen: u^5. Innen: u = 3x+1.

Schritt 2. Leite außen ab, lass innen stehen. Die Ableitung von u^5 ist 5u^4, also erhalten wir 5(3x+1)^4.

Schritt 3. Multipliziere mit der inneren Ableitung. Die Ableitung von 3x + 1 ist 3.

Beachte, dass wir (3x+1)^5 nie ausmultipliziert haben. Genau darin liegt die Stärke der Kettenregel.

Rechenbeispiel 2: eine trigonometrische Funktion

Leite y = \sin(x^2) ab.

• Außen: \sin u, mit der Ableitung \cos u.
• Innen: u = x^2, mit der Ableitung 2x.

Ein häufiger Ausrutscher ist, \cos(2x) zu schreiben. Das Innere bleibt als x^2 im Kosinus stehen. Das 2x kommt nach außen, als Faktor.

Rechenbeispiel 3: Exponentialfunktionen und Logarithmen

Leite y = e^{4x} ab.

Die Ableitung von e^u ist e^u selbst, also ist der äußere Teil e^{4x}. Das Innere 4x hat die Ableitung 4:

Jetzt leite y = \ln(x^2 + 1) ab.

Die Ableitung von \ln u ist \frac{1}{u}, und das Innere x^2+1 hat die Ableitung 2x:

Rechenbeispiel 4: eine Quadratwurzel

Leite y = \sqrt{x^2 + 9} ab.

Schreib die Wurzel zuerst als Potenz: y = (x^2+9)^{1/2}. Dann gilt:

Wenn du Wurzeln als Potenzen mit Bruchexponenten schreibst, lassen sich Kettenregel (und Potenzregel) viel leichter anwenden.

Die Kettenregel mehrfach anwenden

Manche Funktionen haben mehrere Schichten, wie eine Zwiebel. Schäle sie nacheinander von außen nach innen ab und multipliziere alle Ableitungen miteinander.

Leite y = \sin^3(2x) ab, das bedeutet \left(\sin(2x)\right)^3.

1. Äußerste Schicht, die dritte Potenz: 3\sin^2(2x).
2. Mittlere Schicht, der Sinus: \cos(2x).
3. Innerste Schicht, 2x: 2.

Tipp: Sprich die Schichten laut aus. "Hoch drei von Sinus von zwei x." Dann leite in genau dieser Reihenfolge ab.

Kettenregel zusammen mit der Produktregel

Viele echte Aufgaben kombinieren Regeln. Leite y = x^2 \sin(3x) ab.

Das ist ein Produkt, also beginnst du mit der Produktregel, (uv)' = u'v + uv', und nutzt darin die Kettenregel für \sin(3x):

Die Kettenregel taucht nur an einer Stelle auf: Die Ableitung von \sin(3x) ist 3\cos(3x).

Typische Fehler bei der Kettenregel

Das sind die Ausrutscher, die unsere Antwortprüfung am häufigsten sieht, der Reihe nach:

1. Die innere Ableitung vergessen. \frac{d}{dx}(3x+1)^5 = 5(3x+1)^4 schreiben. Der fehlende Faktor 3 ist der mit Abstand häufigste Fehler bei der Kettenregel.
2. Das Innere verändern. \frac{d}{dx}\sin(x^2) = \cos(2x) schreiben. Das Innere bleibt in der äußeren Ableitung unverändert.
3. Sie anwenden, wo sie nicht nötig ist. \frac{d}{dx}\sin x ist einfach \cos x. Es gibt keinen zusätzlichen Faktor, weil das Innere ein bloßes x ist.
4. Eine Schicht zu früh aufhören. Bei \sin^3(2x) vergisst man leicht den letzten Faktor 2.

Eine gute Gewohnheit: Zähle am Ende deine Schichten und prüfe, ob du für jede einen Ableitungsfaktor hast.

Kurzübersicht

Übung macht es automatisch

Die Kettenregel sitzt durch Wiederholung. Wenn du zwanzig oder dreißig Aufgaben gerechnet hast, erkennst du die innere Funktion, ohne nachzudenken. Probier die interaktive Lektion unten aus: Jede Frage gibt dir sofort Rückmeldung, zeigt dir genau, welchen Faktor du vergessen hast, und führt dich Schritt für Schritt durch die Lösung.