Stammfunktionen: Umgekehrte Potenzregel, +C und Anfangswertprobleme

x^3 kannst du im Schlaf ableiten. Jetzt läuft die Frage rückwärts: Welche Funktion hat die Ableitung 3x^2? Diese umgekehrte Frage ist der Einstieg in die Integralrechnung, und die Antworten, die sogenannten Stammfunktionen, erhältst du, indem du die Ableitungsregeln, die du schon kennst, rückwärts anwendest.

Was ist eine Stammfunktion?

Eine Funktion F ist eine Stammfunktion von f, wenn

Zum Beispiel ist F(x) = x^3 eine Stammfunktion von f(x) = 3x^2, denn \frac{d}{dx}x^3 = 3x^2.

Aber x^3 + 1 und x^3 - 8 funktionieren auch. Jede Konstante verschwindet beim Ableiten. Deshalb schreiben wir das unbestimmte Integral, das alle Stammfunktionen auf einmal zusammenfasst:

Das Zeichen \int und das dx gehören zusammen wie Klammern: dx sagt, dass die Variable x ist, und alles dazwischen ist die Funktion, zu der du eine Stammfunktion suchst (der Integrand).

Warum addieren wir +C?

Wenn F'(x) = f(x) gilt, dann ist (F(x) + C)' = F'(x) + 0 = f(x) für jede Konstante C. Aus einer Stammfunktion werden also unendlich viele, die alle senkrecht gegeneinander verschoben sind. (Der Mittelwertsatz beweist, dass es auf einem Intervall keine weiteren gibt: Zwei Funktionen mit derselben Ableitung unterscheiden sich nur um eine Konstante.)

Das +C wegzulassen ist keine kleine Stilfrage. Es bedeutet, dass du nur ein Mitglied der Schar gefunden hast, und bei einem Anfangswertproblem kannst du so unmöglich auf die richtige Antwort kommen.

Die umgekehrte Potenzregel

Die Potenzregel besagt \frac{d}{dx}x^{n+1} = (n+1)x^n. Teile beide Seiten durch n + 1 und lies es rückwärts:

In Worten: Erhöhe den Exponenten um eins und teile dann durch den neuen Exponenten.

Bei n = -1 versagt die Regel, weil du durch null teilen würdest. Dieser Fall hat eine eigene Antwort:

Dank des Betrags funktioniert das auch für negative x.

Zwei weitere Regeln machen die meisten Aufgaben zur Routine. Konstante Faktoren kann man herausziehen, und Summen lassen sich aufteilen:

Tabelle der Grundintegrale

Jede Zeile ist eine rückwärts gelesene Ableitungsregel. Prüfe jede Zeile, indem du die rechte Seite ableitest.

Achte auf die Vorzeichen in den trigonometrischen Zeilen. Die Ableitung von \cos x ist -\sin x, also ist die Stammfunktion von \sin x gleich -\cos x.

Rechenbeispiel 1: ein Polynom

Bestimme \int (3x^2 - 4x + 5)\,dx.

Schritt 1. In Summanden aufteilen. Integriere 3x^2, -4x und 5 einzeln.

Schritt 2. Umgekehrte Potenzregel auf jeden Summanden.

• \int 3x^2\,dx = 3 \cdot \frac{x^3}{3} = x^3
• \int -4x\,dx = -4 \cdot \frac{x^2}{2} = -2x^2
• \int 5\,dx = 5x

Schritt 3. Eine Konstante addieren.

Probe: \frac{d}{dx}(x^3 - 2x^2 + 5x + C) = 3x^2 - 4x + 5. Ein einziges +C am Ende genügt, denn mehrere Konstanten addieren sich zu einer Konstanten.

Rechenbeispiel 2: Wurzeln und Brüche

Bestimme \int \left(\sqrt{x} + \frac{1}{x^2}\right) dx.

Schritt 1. Als Potenzen schreiben. \sqrt{x} = x^{1/2} und \frac{1}{x^2} = x^{-2}.

Schritt 2. Umgekehrte Potenzregel.

• \int x^{1/2}\,dx = \frac{x^{3/2}}{3/2} = \frac{2}{3}x^{3/2}
• \int x^{-2}\,dx = \frac{x^{-1}}{-1} = -\frac{1}{x}

Schritt 3. Zusammensetzen.

Durch einen Bruch wie \frac{3}{2} zu teilen ist dasselbe, wie mit \frac{2}{3} zu multiplizieren. An diesem Schritt stolpern viele.

Rechenbeispiel 3: erst vereinfachen

Bestimme \int \frac{x^2 + 1}{x}\,dx.

Für Integrale gibt es keine Quotientenregel, also vereinfache vor dem Integrieren. Teile jeden Summanden durch x:

Jetzt integrierst du summandenweise:

Rechenbeispiel 4: trigonometrische Funktionen und Exponentialfunktionen

Bestimme \int (2\cos x - 3e^x)\,dx.

Laut Tabelle ist \int \cos x\,dx = \sin x und \int e^x\,dx = e^x:

Probe: \frac{d}{dx}(2\sin x - 3e^x) = 2\cos x - 3e^x.

Zwei weitere Tabelleneinträge im Einsatz: Bestimme \int \left(\frac{4}{1 + x^2} + \sec^2 x\right) dx. Jeder Summand ist eine Zeile der Tabelle mit einer Konstanten davor:

So prüfst du jede Stammfunktion

Integrieren ist schwer, Ableiten ist leicht. Deshalb kommt jede Stammfunktion mit einer kostenlosen Probe: Leite deine Antwort ab und schau, ob du den Integranden zurückbekommst. Wenn \frac{d}{dx}F(x) = f(x) gilt, liegst du richtig, egal welche Methode du benutzt hast.

Damit fängst du fast jeden Ausrutscher ab. Angenommen, du hast \int x^{-1/2}\,dx = \frac{x^{1/2}}{1/2} geschrieben und dann zu \frac{1}{2}\sqrt{x} vereinfacht. Ableiten ergibt \frac{1}{4}x^{-1/2}, und das ist nicht x^{-1/2}, also weißt du, dass etwas schiefgelaufen ist (die richtige Antwort ist 2\sqrt{x} + C). Mach die Probe bei jeder Aufgabe zur Gewohnheit, bis die Regeln automatisch sitzen.

Anfangswertprobleme: das genaue C finden

Ein Anfangswertproblem gibt dir eine Ableitung und einen Punkt der ursprünglichen Funktion vor. Der Punkt wählt aus der Schar F(x) + C genau eine Kurve aus.

Rechenbeispiel 5: f aus f' und einem Punkt bestimmen

Bestimme f(x), wenn f'(x) = 6x^2 - 2x und f(1) = 4 gilt.

Schritt 1. Stammfunktion bilden.

Schritt 2. Den Punkt verwenden. Setze x = 1 und f(1) = 4 ein:

Schritt 3. Die Antwort aufschreiben.

Rechenbeispiel 6: Bewegung aus der Beschleunigung

Ein Ball wird vom Boden aus mit 48 ft/s (Fuß pro Sekunde) senkrecht nach oben geworfen. Seine Beschleunigung ist a(t) = -32 ft/s². Bestimme seine Höhe s(t) und seine maximale Höhe.

Schritt 1. Geschwindigkeit. v(t) = \int -32\,dt = -32t + C_1. Beim Abwurf ist v(0) = 48, also C_1 = 48 und v(t) = -32t + 48.

Schritt 2. Ort. s(t) = \int (-32t + 48)\,dt = -16t^2 + 48t + C_2. Der Ball startet am Boden, s(0) = 0, also C_2 = 0:

Schritt 3. Maximale Höhe. Der Ball erreicht seinen höchsten Punkt, wenn v(t) = 0 ist, also bei t = 1.5 s. Dann ist s(1.5) = -16(2.25) + 72 = 36 ft.

Jede Stammfunktion brauchte ihre eigene Konstante, und jede wurde durch ihre eigene Anfangsbedingung festgelegt.

Rechenbeispiel 7: Start bei der zweiten Ableitung

Bestimme f(x), wenn f''(x) = 12x, f'(0) = 1 und f(0) = 2 gilt.

Schritt 1. f'(x) = 6x^2 + C_1. Wegen f'(0) = 1 ist C_1 = 1, also f'(x) = 6x^2 + 1.

Schritt 2. f(x) = 2x^3 + x + C_2. Wegen f(0) = 2 ist C_2 = 2.

Probe: f'(x) = 6x^2 + 1 und f''(x) = 12x, mit f'(0) = 1 und f(0) = 2. Zwei Integrationen brauchen immer zwei Bedingungen.

Typische Fehler bei Stammfunktionen

1. Das +C vergessen. Das kostet bei unbestimmten Integralen Punkte und ruiniert Anfangswertprobleme.
2. Die umgekehrte Potenzregel auf \frac{1}{x} anwenden. \frac{x^0}{0} ist nicht definiert. Die Antwort ist \ln|x| + C.
3. Produkte oder Quotienten stückweise integrieren. \int x \cdot x^2\,dx ist nicht \frac{x^2}{2}\cdot\frac{x^3}{3}. Multipliziere zuerst aus und erhalte \int x^3\,dx = \frac{x^4}{4} + C.
4. Vorzeichenfehler bei trigonometrischen Funktionen. \int \sin x\,dx = -\cos x + C, nicht \cos x + C.
5. Wurzeln und Brüche nicht umschreiben. \int \frac{1}{\sqrt{x}}\,dx sieht schwer aus, bis du es als \int x^{-1/2}\,dx = 2\sqrt{x} + C schreibst.

Ist der Integrand eine verkettete Funktion wie (3x + 1)^5, reicht die Grundtabelle nicht aus. Das ist die Aufgabe der Substitutionsregel. Und Stammfunktionen sind genau das, was du brauchst, um mit dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung Flächen zu berechnen.

Üben, bis es automatisch geht

Stammfunktionen sind die Grundlage jedes Integrals, das du jemals berechnen wirst, daher zahlt sich Schnelligkeit hier für den Rest des Kurses aus. Arbeite die interaktive Lektion unten durch: Jede Antwort wird sofort geprüft, fehlende Konstanten werden markiert, und jede Lösung wird Schritt für Schritt gezeigt.