Die Potenzregel beim Ableiten: Regeln, Beispiele und Tricks

Ableitungen mit der Grenzwertdefinition zu berechnen bedeutet eine Seite Algebra für jede Funktion. Die Potenzregel ersetzt all das durch eine Abkürzung in einer Zeile, und zusammen mit zwei einfachen Begleitregeln kannst du damit jedes Polynom, jede Wurzel und jede Potenz von x in Sekunden ableiten. Sie ist die erste Regel, die du lernst, und die, die du am häufigsten brauchst.

Was ist die Potenzregel?

Die Potenzregel liefert die Ableitung von x hoch einem konstanten Exponenten:

In Worten: Zieh den Exponenten nach vorne und verringere ihn dann um eins.

Die Regel gilt für jede reelle Zahl n: positive ganze Zahlen, negative Zahlen und Brüche. Die einzige Bedingung ist, dass die Variable in der Basis steht und der Exponent konstant ist.

Warum die Potenzregel gilt

Für eine positive ganze Zahl n erkennst du das Muster mit der Grenzwertdefinition der Ableitung. Ausmultiplizieren von (x + h)^n ergibt

Also ist

und für h \to 0 verschwindet alles außer n x^{n-1}. Das ist die Potenzregel. Für n = 2 ist das genau die bekannte Rechnung (x+h)^2 = x^2 + 2xh + h^2, die 2x liefert. Der Beweis für negative und gebrochene Exponenten braucht andere Werkzeuge, aber die Regel bleibt dieselbe.

Konstantenregel, Faktorregel und Summenregel

Die Potenzregel kommt selten allein vor. Drei Begleitregeln erlauben es dir, sie mit Koeffizienten und mehreren Termen zu kombinieren.

Die Konstantenregel sagt, dass eine waagerechte Gerade die Steigung 0 hat. Die Faktorregel sagt, dass eine senkrechte Streckung des Graphen um c jede Steigung mit c multipliziert. Die Summenregel sagt, dass du ein Polynom Term für Term ableiten darfst.

Rechenbeispiel 1: ein Polynom

Leite f(x) = 3x^4 - 5x^2 + 7x - 2 ab.

Schritt 1. In Terme zerlegen. Nach der Summenregel leitest du jeden Term einzeln ab.

Schritt 2. Potenzregel mit Faktoren anwenden.

• 3x^4 \to 3 \cdot 4x^3 = 12x^3
• -5x^2 \to -5 \cdot 2x = -10x
• 7x \to 7 \cdot 1 = 7
• -2 \to 0

Schritt 3. Zusammenfassen.

Negative Exponenten: Brüche umschreiben

Eine Potenz von x im Nenner ist ein verkleideter negativer Exponent:

Schreibe zuerst um und wende dann die Potenzregel an. Achte genau darauf, wenn du eins abziehst: Der Exponent wird noch negativer.

Rechenbeispiel 2: ein Bruch mit Koeffizient

Leite y = \frac{4}{x^3} ab.

Schritt 1. Als Potenz schreiben. y = 4x^{-3}.

Schritt 2. Potenzregel anwenden. Zieh -3 nach vorne und subtrahiere eins: -3 - 1 = -4.

Schritt 3. Ohne negative Exponenten schreiben (optional, aber meist erwartet).

Einen Spezialfall solltest du auswendig kennen: \frac{d}{dx} \frac{1}{x} = \frac{d}{dx} x^{-1} = -x^{-2} = -\frac{1}{x^2}, dasselbe Ergebnis wie mit der Grenzwertdefinition.

Tipp: Achte darauf, wo der Koeffizient steht. \frac{1}{3x^2} ist \frac{1}{3}x^{-2}, aber \frac{3}{x^2} ist 3x^{-2}. Nur die Potenz von x wandert als negativer Exponent in den Zähler.

Gebrochene Exponenten: Wurzeln umschreiben

Wurzeln sind Potenzen mit gebrochenen Exponenten:

Rechenbeispiel 3: eine Quadratwurzel

Leite y = \sqrt{x} ab.

Schritt 1. Umschreiben. y = x^{1/2}.

Schritt 2. Potenzregel anwenden. \frac{1}{2} - 1 = -\frac{1}{2}, also

Rechenbeispiel 4: die Wurzel einer Potenz

Leite y = \sqrt[3]{x^2} ab.

Schritt 1. Umschreiben. y = x^{2/3}.

Schritt 2. Potenzregel anwenden. \frac{2}{3} - 1 = -\frac{1}{3}, also

Beachte, dass die Ableitung bei x = 0 nicht definiert ist. Der Graph von x^{2/3} hat dort eine Spitze.

Rechenbeispiel 5: erst vereinfachen, dann ableiten

Leite y = \frac{x^2 + 1}{\sqrt{x}} ab.

Du könntest die Quotientenregel verwenden, aber den Bruch aufzuteilen geht schneller.

Schritt 1. In einzelne Terme aufteilen.

Schritt 2. Exponenten subtrahieren. x^{2 - 1/2} = x^{3/2}, also

Schritt 3. Potenzregel auf jeden Term anwenden.

Schritt 4. Mit Wurzeln schreiben (optional).

Derselbe Trick funktioniert bei Produkten: Multipliziere (2x + 1)^2 = 4x^2 + 4x + 1 aus und leite dann ab, das ergibt 8x + 4.

Alles zusammen

Leite y = 6\sqrt[3]{x^5} - \frac{2}{x} + 9 ab.

Schritt 1. Jeden Term als Potenz von x schreiben.

Schritt 2. Potenzregel Term für Term anwenden. Beim ersten Term ist \frac{5}{3} - 1 = \frac{2}{3}. Beim zweiten ist -1 - 1 = -2. Die Konstante 9 wird zu 0.

Schritt 3. In Wurzel- und Bruchform schreiben.

Beachte, wie die beiden Minuszeichen im mittleren Term zu einem Plus geworden sind. Auf solche Vorzeichenfehler musst du vor allem achten, sobald die Regel selbst sitzt.

Rechenbeispiel 6: eine Tangente

Bestimme die Gleichung der Tangente an y = x^3 bei x = 2.

Schritt 1. Punkt bestimmen. y(2) = 2^3 = 8, der Punkt ist also (2, 8).

Schritt 2. Steigung bestimmen. \frac{dy}{dx} = 3x^2, die Steigung bei x = 2 ist also 3(2)^2 = 12.

Schritt 3. Punkt-Steigungs-Form verwenden.

Höhere Ableitungen mit der Potenzregel

Weil die Ableitung eines Polynoms wieder ein Polynom ist, kannst du die Potenzregel immer wieder anwenden. Die zweite Ableitung f''(x) ist die Ableitung von f'(x) und misst, wie sich die Steigung selbst ändert (Krümmung).

Rechenbeispiel 7: erste, zweite und dritte Ableitung

Bestimme f', f'' und f''' für f(x) = 2x^5 - x^3 + 4x.

Schritt 1. Erste Ableitung. Wende die Potenzregel Term für Term an:

Schritt 2. Zweite Ableitung. Leite f' ab. Die Konstante 4 fällt weg:

Schritt 3. Dritte Ableitung.

Jede Runde senkt jeden Exponenten um eins, ein Polynom vom Grad n wird also nach n + 1 Ableitungen zu 0.

Die Potenzregel als Änderungsrate

Ableitungen sind Raten, also macht die Potenzregel aus Ortsfunktionen sofort Geschwindigkeitsfunktionen. Angenommen, die Höhe eines Balls in Metern nach t Sekunden ist

Die Variable heißt t statt x, aber die Regel ist dieselbe. Die Geschwindigkeit ist

und die Beschleunigung ist a(t) = v'(t) = -10 Meter pro Quadratsekunde. v(t) = 0 liefert t = 2, den Moment, in dem der Ball nicht mehr steigt, in einer Höhe von s(2) = -20 + 40 + 2 = 22 Metern. Jede dieser Antworten kam allein aus der Potenzregel.

Typische Fehler bei der Potenzregel

1. Bei negativen Exponenten falsch eins abziehen. \frac{d}{dx} x^{-3} = -3x^{-4}. Von -3 auf -2 zu gehen ist der häufigste Fehler.
2. Einen Bruch stückweise ableiten. \frac{d}{dx} \frac{1}{x^3} ist nicht \frac{1}{3x^2}. Schreibe es zuerst als x^{-3}.
3. Vergessen, dass Konstanten zu 0 werden. Die Ableitung von -2, \pi^2 oder e^3 ist 0, nicht die Konstante selbst.
4. Die Potenzregel auf Exponentialfunktionen anwenden. \frac{d}{dx} 2^x ist nicht x \cdot 2^{x-1}. Die Variable steht im Exponenten, die Potenzregel gilt also nicht.
5. Sie auf eine Potenz von etwas anderem als x anwenden. \frac{d}{dx} (3x+1)^5 braucht die Kettenregel, die einen Faktor 3 hinzufügt.
6. Einen Koeffizienten mit der Potenz verschieben. \frac{5}{x^2} = 5x^{-2}, nicht 5^{-1}x^{-2}.

Kurzübersicht

Üben, bis es automatisch geht

Die Potenzregel selbst ist einfach. Was Übung braucht, ist das Umschreiben: Wurzeln und Brüche in Potenzen verwandeln und mit negativen und gebrochenen Exponenten umgehen, ohne dich zu verrechnen. Die interaktive Lektion unten gibt dir einen stetigen Strom an Aufgaben, prüft jede Antwort sofort und zeigt dir genau, welcher Exponent danebenlag. Eine kurze Übungsrunde heute macht jede spätere Ableitung schneller.