Taylorreihe und Maclaurin-Reihe: Formel, Beispiele, Fehlerabschätzung

Dein Taschenrechner liefert \sin(0.5) sofort, aber \sin lässt sich nicht mit Plus, Minus, Mal und Geteilt berechnen. Mit Taylorreihen verwandelst du eine Funktion wie \sin x, e^x oder \ln x in ein Polynom, das du tatsächlich auswerten kannst, und sie tauchen überall auf, von der Physik bis zum Innenleben genau dieses Taschenrechners.

Dieser Artikel gibt dir die Formeln für Taylor- und Maclaurin-Reihen, die vier Reihen, die du auswendig kennen solltest, zeigt, wie du neue Reihen ohne Ableiten bildest und wie du den Fehler abschätzt, wenn du nach wenigen Termen aufhörst.

Was ist eine Taylorreihe?

Eine Taylorreihe schreibt eine Funktion als unendliches Polynom um einen Entwicklungspunkt a. Die Koeffizienten stammen aus den Ableitungen von f bei a:

Eine Maclaurin-Reihe ist der Spezialfall a = 0:

Die Idee ist einfach. Der erste Term trifft den Funktionswert von f bei a. Mit dem zweiten Term stimmt auch die Steigung, das ergibt die Tangente aus der linearen Approximation. Der dritte Term trifft die Krümmung, und so weiter. Jeder neue Term übernimmt eine weitere Ableitung.

Hörst du nach dem Term mit (x-a)^n auf, erhältst du das Taylorpolynom vom Grad n, geschrieben T_n(x).

Eine Taylorreihe Schritt für Schritt bestimmen

1. Berechne f(a), f'(a), f''(a), f'''(a), \dots, bis du ein Muster erkennst.
2. Teile den Wert der n-ten Ableitung durch n!, um den Koeffizienten c_n zu erhalten.
3. Schreibe die Reihe \sum c_n (x-a)^n auf und verwende das Muster für ein allgemeines Glied.
4. Falls gefragt, bestimme den Konvergenzbereich mit dem Quotientenkriterium, wie in unserem Artikel zu Potenzreihen.

Rechenbeispiel 1: die Maclaurin-Reihe von e^x

Schritt 1. Ableiten. Jede Ableitung von e^x ist e^x, also gilt f^{(n)}(0) = e^0 = 1 für jedes n.

Schritt 2. Koeffizienten bilden. c_n = \frac{1}{n!}.

Schritt 3. Reihe aufschreiben.

Das Quotientenkriterium liefert \frac{|x|}{n+1} \to 0, das gilt also für jedes reelle x. Setzt du x = 1 ein, erhältst du eine schnelle Methode, um e = 1 + 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{6} + \frac{1}{24} + \cdots \approx 2.718 zu berechnen.

Rechenbeispiel 2: die Maclaurin-Reihe von sin x

Schritt 1. Ableiten und bei 0 auswerten.

Die Werte wiederholen sich endlos im Zyklus 0, 1, 0, -1.

Schritt 2. Nur die Terme ungleich null behalten. Die geraden Potenzen fallen weg. Die ungeraden Potenzen wechseln das Vorzeichen, mit n! im Nenner.

Schritt 3. Reihe aufschreiben.

Dieselben Schritte liefern für \cos x stattdessen die geraden Potenzen:

Eine schnelle Plausibilitätsprüfung: \sin x ist ungerade, und seine Reihe hat nur ungerade Potenzen. \cos x ist gerade, und seine Reihe hat nur gerade Potenzen.

So sehen die Taylorpolynome von \sin x aus. Jeder zusätzliche Term schmiegt sich über einen breiteren Bereich an die Kurve an.

Rechenbeispiel 3: eine Taylorreihe um a = 1

Bestimme die Taylorreihe von f(x) = \ln x mit Entwicklungspunkt a = 1.

Schritt 1. Ableiten.

Das Muster für n \ge 1 ist f^{(n)}(x) = \frac{(-1)^{n-1}(n-1)!}{x^n}.

Schritt 2. Bei a = 1 auswerten. f(1) = 0 und f^{(n)}(1) = (-1)^{n-1}(n-1)! für n \ge 1.

Schritt 3. Durch n! teilen. Wegen \frac{(n-1)!}{n!} = \frac{1}{n} ist der Koeffizient c_n = \frac{(-1)^{n-1}}{n}.

Schritt 4. Reihe aufschreiben.

Sie konvergiert für 0 < x \le 2.

Die vier wichtigsten Maclaurin-Reihen zum Auswendiglernen

Mit diesen vier im Gepäck kannst du dir bei den meisten Klausuraufgaben das Ableiten sparen.

Rechenbeispiel 4: neue Reihen aus den vier wichtigsten bilden

Innerhalb ihres Konvergenzbereichs darfst du Reihen gliedweise einsetzen, multiplizieren, ableiten und integrieren.

Einsetzen. Für e^{-x^2} ersetzt du x in der Reihe für e^x durch -x^2:

Multiplizieren. Für x\cos x multiplizierst du jeden Term der Kosinusreihe mit x:

Integrieren. Ersetze x in \frac{1}{1-x} durch -x^2 und du erhältst

Da \int_0^x \frac{dt}{1+t^2} = \arctan x gilt, integrierst du gliedweise:

Jede dieser Reihen hätte direkt viele Ableitungen gekostet.

Taylorpolynome als Näherungen

Die ganze unendliche Reihe brauchst du selten. Schon wenige Terme liefern nahe am Entwicklungspunkt eine hervorragende Näherung. Deshalb ersetzen Physiker bei kleinen Pendelausschlägen \sin\theta durch \theta und \cos\theta durch 1 - \frac{\theta^2}{2}.

Zum Beispiel liefert T_2 für \cos x bei 0 den Wert \cos(0.2) \approx 1 - \frac{0.04}{2} = 0.98. Der wahre Wert ist 0.980067, zwei Terme stimmen also schon auf vier Nachkommastellen. Je weiter du dich vom Entwicklungspunkt entfernst, desto mehr Terme brauchst du für dieselbe Genauigkeit, und die Restgliedabschätzung unten sagt dir genau, wie viele.

Das Restglied: Wie groß ist der Fehler?

Ersetzt du f durch T_n, ist der Fehler das Restglied R_n(x) = f(x) - T_n(x). Die Taylor-Ungleichung schätzt es ab:

wobei M eine beliebige Zahl mit |f^{(n+1)}(t)| \le M für alle t zwischen a und x ist.

Lies es so: Der Fehler wird durch die nächste Ableitung, die nächste Fakultät und den Abstand vom Entwicklungspunkt bestimmt. Nähe zu a und mehr Terme lassen ihn beide schrumpfen.

Rechenbeispiel 5: sin(0,5) mit Fehlerabschätzung schätzen

Schätze \sin(0.5) mit T_3 und schätze den Fehler ab.

Schritt 1. Polynom auswerten.

Schritt 2. M bestimmen. Die vierte Ableitung von \sin x ist \sin x, und |\sin t| \le 1, also M = 1.

Schritt 3. Abschätzung mit n = 3 anwenden.

\sin(0.5) liegt also höchstens 0.0026 von 0.47917 entfernt. Der wahre Wert ist 0.47943, und der tatsächliche Fehler beträgt etwa 0.00026, bequem innerhalb der Schranke.

Tipp: Bei \sin x ist der Koeffizient von x^4 gleich 0, also T_3 = T_4. Mit n = 4 in der Abschätzung erhältst du \frac{(0.5)^5}{5!} \approx 0.00026, eine viel schärfere Schranke.

Weil diese Reihe alterniert und ihre Terme fallen, liefert die Fehlerabschätzung für alternierende Reihen dasselbe scharfe Ergebnis: Der Fehler ist höchstens so groß wie der erste weggelassene Term, \frac{(0.5)^5}{120}.

Typische Fehler bei Taylorreihen

1. Die Fakultät vergessen. Der Koeffizient ist \frac{f^{(n)}(a)}{n!}, nicht einfach f^{(n)}(a).
2. Potenzen von x verwenden, obwohl a \ne 0 ist. Eine Reihe mit Entwicklungspunkt 1 läuft in Potenzen von (x - 1).
3. Sinus und Kosinus verwechseln. Der Sinus ist ungerade und beginnt mit x. Der Kosinus ist gerade und beginnt mit 1.
4. Ableiten, obwohl Einsetzen reicht. Für e^{3x} ersetzt du einfach x in der Reihe für e^x durch 3x.
5. Den Konvergenzbereich ignorieren. Die Reihe für \frac{1}{1-x} ist bei x = 2 nutzlos.
6. Die falsche Ableitung in der Fehlerabschätzung verwenden. Die Schranke für T_n braucht eine Schranke für f^{(n+1)}, also eine Ableitung über den letzten behaltenen Term hinaus.

Übung macht aus Formeln Instinkt

Sobald du die vier wichtigsten Reihen auswendig kannst und ein paar Reihen durch Einsetzen gebildet hast, fühlen sich Taylorreihen nicht mehr wie eine Wand aus Fakultäten an. Die interaktive Lektion unten gibt dir Reihen zum Aufstellen und Näherungen zum Prüfen, mit sofortiger Rückmeldung zu jedem Koeffizienten, damit du genau siehst, welcher Term danebenlag.