Potenzreihen: Konvergenzradius und Konvergenzbereich mit Beispielen

Du weißt, wie man entscheidet, ob eine Zahlenreihe konvergiert. Eine Potenzreihe hat eine Besonderheit: In jedem Term steht ein x, sie konvergiert also für manche Werte von x und divergiert für andere. Deine Aufgabe ist es, genau herauszufinden, für welche, und das Quotientenkriterium erledigt dabei fast die ganze Arbeit.

Dieser Artikel zeigt dir Schritt für Schritt, wie du Konvergenzradius und Konvergenzbereich bestimmst, warum die Randpunkte besondere Sorgfalt brauchen, und rechnet fünf Beispiele durch, die jeden Fall abdecken, der dir in einer Klausur begegnet.

Was ist eine Potenzreihe?

Eine Potenzreihe mit Entwicklungspunkt a ist eine unendliche Summe von Potenzen von (x - a), jede mit ihrem eigenen Koeffizienten:

Stell sie dir als Polynom vor, das nie aufhört. Für jede Zahl, die du für x einsetzt, erhältst du eine gewöhnliche Zahlenreihe, die entweder konvergiert oder divergiert.

Das bekannteste Beispiel ist die geometrische Reihe

Sie funktioniert innerhalb von (-1, 1) perfekt und versagt überall sonst. Dieses Muster, ein sauberes Intervall um den Entwicklungspunkt, gilt für jede Potenzreihe.

Konvergenzradius: die drei Möglichkeiten

Für jede Potenzreihe mit Entwicklungspunkt a trifft genau eine dieser Aussagen zu:

1. Sie konvergiert nur bei x = a. Der Radius ist R = 0.
2. Sie konvergiert für jedes x. Der Radius ist R = \infty.
3. Es gibt eine Zahl R > 0, sodass sie für |x - a| < R konvergiert und für |x - a| > R divergiert.

Die Zahl R ist der Konvergenzradius. Der Konvergenzbereich ist die Menge aller x, für die die Reihe konvergiert. Im Fall 3 ist das das Intervall von a - R bis a + R, plus die Randpunkte, die gerade funktionieren.

So bestimmst du den Konvergenzradius mit dem Quotientenkriterium

Das Quotientenkriterium besagt, dass eine Reihe \sum b_n absolut konvergiert, wenn \lim_{n\to\infty} \left|\frac{b_{n+1}}{b_n}\right| < 1 ist, und divergiert, wenn dieser Grenzwert größer als 1 ist. Wende es auf die Terme b_n = c_n (x-a)^n an:

Setze dann L < 1 an und löse nach |x - a| auf. Das Rezept:

1. Schreibe den Quotienten \left|\frac{b_{n+1}}{b_n}\right| auf und vereinfache ihn. Die Potenzen von (x - a) kürzen sich auf ein einzelnes |x - a|.
2. Bilde den Grenzwert für n \to \infty. Das x bleibt stehen, weil es nicht von n abhängt.
3. Löse L < 1. Du erhältst |x - a| < R.
4. Prüfe beide Randpunkte x = a - R und x = a + R durch Einsetzen.

Warum die Randpunkte getrennt geprüft werden müssen

Bei x = a \pm R ist der Grenzwert im Quotientenkriterium genau 1, und ein Grenzwert von 1 sagt dir nichts. Die Reihe kann konvergieren oder divergieren, und die beiden Randpunkte müssen nicht übereinstimmen. An jedem Randpunkt setzt du also die Zahl in die Reihe ein und verwendest ein anderes Kriterium: die Konvergenz von p-Reihen, das Leibniz-Kriterium, das Nullfolgenkriterium oder einen Vergleich. Wenn du dazu eine Auffrischung brauchst, sieh dir unseren Artikel zu Konvergenzkriterien an.

Tipp: Überspringe nie die Randpunkte. Eine Antwort (-1, 1), wenn eigentlich [-1, 1) richtig ist, gilt als falsch, auch wenn der Radius stimmt.

Rechenbeispiel 1: Randpunkte, die sich unterscheiden

Bestimme den Konvergenzbereich von \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{n}.

Schritt 1. Quotienten aufstellen.

Schritt 2. Grenzwert bilden. Wegen \frac{n}{n+1} \to 1 erhalten wir L = |x|.

Schritt 3. L < 1 lösen. Die Reihe konvergiert für |x| < 1, also R = 1.

Schritt 4. Randpunkte prüfen.

• Bei x = 1 ist die Reihe \sum \frac{1}{n}, die harmonische Reihe, und die divergiert.
• Bei x = -1 ist die Reihe \sum \frac{(-1)^n}{n}, die alternierende harmonische Reihe, und die konvergiert nach dem Leibniz-Kriterium.

Der Konvergenzbereich ist [-1, 1).

Rechenbeispiel 2: eine Reihe mit Entwicklungspunkt ungleich 0

Bestimme den Konvergenzbereich von \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(x-3)^n}{n^2\, 2^n}.

Schritt 1. Quotienten aufstellen.

Schritt 2. Grenzwert bilden. Der Bruch \frac{n^2}{(n+1)^2} geht gegen 1, also L = \frac{|x-3|}{2}.

Schritt 3. L < 1 lösen. Wir brauchen |x - 3| < 2, also R = 2, und das offene Intervall ist 1 < x < 5.

Schritt 4. Randpunkte prüfen.

• Bei x = 5: (x-3)^n = 2^n, und die Reihe wird zu \sum \frac{2^n}{n^2\, 2^n} = \sum \frac{1}{n^2}, einer p-Reihe mit p = 2. Sie konvergiert.
• Bei x = 1: (x-3)^n = (-2)^n, und die Reihe wird zu \sum \frac{(-1)^n}{n^2}. Sie konvergiert absolut, weil \sum \frac{1}{n^2} konvergiert.

Der Konvergenzbereich ist [1, 5]. Beachte, dass der Entwicklungspunkt 3 ist und sich das Intervall um 2 Einheiten in jede Richtung erstreckt.

Rechenbeispiel 3: beide Randpunkte divergieren

Bestimme den Konvergenzbereich von \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n\,(x+1)^n}{4^n}.

Schritt 1. Quotienten aufstellen.

Schritt 2. Grenzwert bilden. L = \frac{|x+1|}{4}.

Schritt 3. L < 1 lösen. |x + 1| < 4, also R = 4, und der Entwicklungspunkt ist a = -1. Das ergibt -5 < x < 3.

Schritt 4. Randpunkte prüfen.

• Bei x = 3: Die Reihe ist \sum \frac{n \cdot 4^n}{4^n} = \sum n. Die Terme wachsen, sie divergiert also nach dem Nullfolgenkriterium.
• Bei x = -5: Die Reihe ist \sum n(-1)^n. Die Terme gehen nicht gegen 0, sie divergiert also ebenfalls.

Der Konvergenzbereich ist (-5, 3).

Achte auf den Entwicklungspunkt. Bei (x + 1)^n ist der Entwicklungspunkt a = -1, nicht 1. Schreibe es als (x - (-1))^n, wenn dir das hilft.

Rechenbeispiel 4: Radius unendlich und Radius null

Fakultäten treiben den Radius zu einem der beiden Extreme.

Reihe A: \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}.

Der Grenzwert ist für jedes x gleich 0, und 0 < 1 gilt immer. Also ist R = \infty und der Konvergenzbereich (-\infty, \infty). Es gibt keine Randpunkte zu prüfen. (Diese Reihe ist gleich e^x, wie du in unserem Artikel zu Taylorreihen sehen wirst.)

Reihe B: \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} n!\, x^n.

Für x \ne 0 wächst das unbeschränkt, die Reihe divergiert also. Sie konvergiert nur im Entwicklungspunkt. Also ist R = 0, und der "Bereich" ist der einzelne Punkt \{0\}.

Rechenbeispiel 5: ein Koeffizient vor x

Bestimme den Konvergenzradius von \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(2x-1)^n}{5^n}.

Schritt 1. Quotienten aufstellen. Der Quotient aufeinanderfolgender Terme ist \frac{|2x - 1|}{5}, ohne übrig bleibendes n, also L = \frac{|2x-1|}{5}.

Schritt 2. L < 1 lösen. |2x - 1| < 5. Klammere die 2 aus, um die Form |x - a| < R zu erhalten:

Der Entwicklungspunkt ist also a = \frac{1}{2} und der Radius R = \frac{5}{2}, nicht 5. Das offene Intervall ist -2 < x < 3.

Schritt 3. Randpunkte prüfen. Bei x = 3 ist die Reihe \sum 1^n, bei x = -2 ist sie \sum (-1)^n. Bei keiner gehen die Terme gegen 0, beide divergieren also. Der Konvergenzbereich ist (-2, 3).

Typische Fehler bei Potenzreihen

1. Die Randpunkte vergessen. Hier gehen die meisten Punkte verloren. Das Quotientenkriterium entscheidet sie nie.
2. Den falschen Entwicklungspunkt ablesen. (x + 2)^n hat den Entwicklungspunkt -2, und (3x - 6)^n hat den Entwicklungspunkt 2.
3. Den Koeffizienten vor x nicht ausklammern. Aus |2x - 1| < 5 folgt der Radius \frac{5}{2}. Schreibe immer zuerst in die Form |x - a| < R um.
4. Den Betrag weglassen. Das Quotientenkriterium verwendet |x - a|. Ohne ihn verlierst du die linke Hälfte des Intervalls.
5. x mit n "gegen unendlich gehen" lassen. Im Grenzwert ist x eine feste Zahl. Nur n ändert sich.
6. Das Ergebnis des Quotientenkriteriums an einem Randpunkt verwenden. An einem Randpunkt brauchst du ein anderes Kriterium, angewandt auf die Reihe mit eingesetzter Zahl.

Kurzübersicht: Konvergenzradius und Konvergenzbereich

Ein nützliches Muster aus den ersten drei Zeilen: Polynomielle Faktoren wie n oder n^2 ändern den Radius nicht, können aber das Verhalten an den Randpunkten ändern.

Üben, bis die Schritte automatisch sitzen

Einen Konvergenzbereich zu bestimmen ist eine feste Routine: Quotient, Grenzwert, auflösen, zwei Randpunkte prüfen. Schnell wird die Routine erst, wenn du sie an einem Dutzend verschiedener Reihen durchgespielt hast. Die interaktive Lektion unten gibt dir immer neue Reihen zum Durcharbeiten, prüft jeden Schritt sofort und zeigt dir genau, wo eine Randpunktprüfung schiefgelaufen ist.