Produktregel beim Ableiten: Formel, Beispiele und Beweis
Die Produktregel: Die Ableitung von f·g ist f'g + fg'. Die Formel, Rechenbeispiele, die Version mit drei Faktoren, ein kurzer Beweis und typische Fehler.
Ableitungsregeln Aktualisiert 3 Min. Lesezeit
Auf einen Blick
- Anwendbar auf
- Ein Produkt zweier differenzierbarer Funktionen, die beide von x abhängen
- In Worten
- Ableitung des ersten Faktors mal zweiter Faktor plus erster Faktor mal Ableitung des zweiten
- Drei Faktoren
- (fgh)' = f'gh + fg'h + fgh'
- Nicht nötig, wenn
- Ein Faktor konstant ist (dann gilt die Faktorregel)
- Gegenstück beim Integrieren
- Partielle Integration
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Die Produktregel sagt dir, wie du zwei miteinander multiplizierte Funktionen ableitest. Die Ableitung eines Produkts ist nicht das Produkt der Ableitungen. Stattdessen leitest du jeweils einen Faktor ab und addierst die Ergebnisse.
Die Formel der Produktregel
Sind f und g differenzierbar, dann gilt
Eine gängige Merkregel: Ableitung des ersten Faktors mal zweiter Faktor plus erster Faktor mal Ableitung des zweiten. Kurz: (fg)' = f'g + fg'.
Bei drei Faktoren setzt sich das Muster fort, mit einem abgeleiteten Faktor pro Summand:
Rechenbeispiele
Beispiel 1: eine Potenz mal eine trigonometrische Funktion. Sei f = x^2 und g = \sin x, also f' = 2x und g' = \cos x:
Beispiel 2: eine Potenz mal eine Exponentialfunktion. Mit f = x und g = e^x:
Beispiel 3: ein Logarithmus. Mit f = x und g = \ln x:
Beispiel 4: zwei Polynome, durch Ausmultiplizieren überprüft. Für (3x + 1)(x^2 - 2):
Multiplizierst du zuerst aus, erhältst du 3x^3 + x^2 - 6x - 2, dessen Ableitung ebenfalls 9x^2 + 2x - 6 ist.
Beispiel 5: drei Faktoren. Für x\,e^x\sin x:
Wann man die Produktregel verwendet
Verwende sie, wenn zwei (oder mehr) Faktoren beide von x abhängen:
| Ausdruck | Produktregel verwenden? |
|---|---|
| x^3\cos x | Ja |
| e^x \ln x | Ja |
| 5\sin x | Nein, 5 ist eine Konstante: Faktorregel |
| \sin(x^2) | Nein, das ist eine Verkettung: Kettenregel |
| \frac{x^2}{x + 1} | Verwende die Quotientenregel oder die Produktregel auf x^2(x+1)^{-1} |
Viele Ableitungen brauchen Produktregel und Kettenregel zusammen. Bei x^2 e^{3x} zerlegt die Produktregel den Ausdruck und die Kettenregel kümmert sich um e^{3x}: Das Ergebnis ist 2x e^{3x} + 3x^2 e^{3x}.
Warum die Produktregel gilt
Beginne mit der Definition der Ableitung über den Grenzwert und addiere und subtrahiere im Zähler f(x+h)g(x):
Für h \to 0 gilt f(x+h) \to f(x), weil differenzierbare Funktionen stetig sind, und die beiden Differenzenquotienten werden zu g'(x) und f'(x). Übrig bleibt f(x)g'(x) + g(x)f'(x).
Stell dir ein Rechteck mit den Seiten f und g vor. Wachsen beide Seiten ein wenig, gewinnt die Fläche einen Streifen der Größe f'g an der einen Seite und einen Streifen der Größe fg' an der anderen.
Häufige Fehler
- Die Ableitungen multiplizieren. \frac{d}{dx}\,x^2\sin x \ne 2x\cos x. Du brauchst zwei Summanden.
- Beide Faktoren im selben Summanden ableiten. Jeder Summand hat genau einen abgeleiteten Faktor.
- Sie bei einem konstanten Faktor verwenden. Das funktioniert, kostet aber Zeit. \frac{d}{dx}\,4x^3 ist einfach 12x^2.
- Die Kettenregel in einem Faktor vergessen. In x\sin(2x) ist die Ableitung von \sin(2x) gleich 2\cos(2x), also lautet das Ergebnis \sin(2x) + 2x\cos(2x).
Integriert man die Produktregel, erhält man die partielle Integration. Mehr Beispiele und einen direkten Vergleich mit der Quotientenregel findest du im vollständigen Leitfaden zur Produkt- und Quotientenregel.
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