Ableitung mit der h-Methode: Der Grenzwert, Schritt für Schritt

Bei einer Geraden ist die Steigung einfach: Höhenunterschied durch Breitenunterschied. Aber eine Kurve wie y = x^2 wird nach rechts immer steiler. Was soll "die Steigung bei x = 1" dann überhaupt bedeuten? Die Definition der Ableitung als Grenzwert beantwortet das präzise, und auf ihr baut jede Ableitungsregel auf.

Was ist die Ableitung? Die Definition in einfachen Worten

Die Ableitung einer Funktion an einer Stelle ist die Steigung der Tangente dort: die momentane Änderungsrate. Wir finden sie, indem wir die Steigung zwischen zwei Punkten der Kurve bestimmen und den zweiten Punkt auf den ersten zurutschen lassen.

Formal ist die Ableitung von f

sofern dieser Grenzwert existiert. Der Bruch im Grenzwert heißt Differenzenquotient, der Grenzwert selbst Differentialquotient.

An einer bestimmten Stelle x = a schreibt man dieselbe Definition oft in einer gleichwertigen alternativen Form:

Von Sekanten zur Tangente

Eine Sekante geht durch zwei Punkte einer Kurve. Nimm die Punkte (x, f(x)) und (x + h, f(x + h)). Der Höhenunterschied ist f(x+h) - f(x), der Breitenunterschied ist h, die Steigung der Sekante ist also genau der Differenzenquotient:

Jetzt lass h schrumpfen. Der zweite Punkt rutscht entlang der Kurve auf den ersten zu, und die Sekante dreht sich. Im Grenzfall fallen die beiden Punkte zusammen und die Sekante wird zur Tangente. Ihre Steigung ist die Ableitung.

Hier ist f(x) = x^2 bei x = 1:

Die Steigungen nähern sich 2. Die Steigung der Tangente an y = x^2 bei x = 1 ist also 2.

So wendest du die Grenzwertdefinition an: das allgemeine Verfahren

Jede Aufgabe zur h-Methode folgt denselben vier Schritten.

1. Schreibe f(x + h) auf, indem du jedes x in der Formel durch (x + h) ersetzt.
2. Bilde den Differenzenquotienten \frac{f(x+h) - f(x)}{h}.
3. Vereinfache, bis sich das h im Nenner kürzt. (Setzt du sofort h = 0 ein, erhältst du immer \frac{0}{0}.)
4. Lass h \to 0 gehen, indem du h = 0 in den Rest einsetzt.

Die Algebra in Schritt 3 hängt von der Funktion ab. Es sind dieselben Techniken wie beim Berechnen von Grenzwerten:

Rechenbeispiel 1: die Ableitung von x²

Bestimme f'(x) für f(x) = x^2 mit der Grenzwertdefinition.

Schritt 1. f(x + h) aufschreiben.

Schritt 2. Differenzenquotient bilden.

Schritt 3. h ausklammern und kürzen.

Schritt 4. h \to 0 gehen lassen.

Bei x = 1 ergibt das f'(1) = 2, passend zur Tabelle. Die Tangente dort ist y - 1 = 2(x - 1), also y = 2x - 1.

Rechenbeispiel 2: die Ableitung von 1/x

Bestimme f'(x) für f(x) = \frac{1}{x}.

Schritt 1. f(x + h) aufschreiben. f(x + h) = \frac{1}{x + h}.

Schritt 2. Differenzenquotient bilden.

Schritt 3. Den Zähler auf einen Hauptnenner bringen.

Beim Teilen durch h kürzt es sich:

Schritt 4. h \to 0 gehen lassen.

Die Ableitung ist für jedes x \neq 0 negativ, und das passt zum Graphen von \frac{1}{x}: Er fällt auf beiden Ästen. Bei x = 1 ist die Steigung -1, die Tangente lautet also y = -x + 2.

Rechenbeispiel 3: die Ableitung von √x

Bestimme f'(x) für f(x) = \sqrt{x}.

Schritt 1. Differenzenquotient aufschreiben.

Einsetzen von h = 0 ergibt \frac{0}{0}, und es gibt nichts auszumultiplizieren. Eine Differenz von Wurzeln verlangt nach dem konjugierten Term.

Schritt 2. Mit dem konjugierten Term erweitern.

Schritt 3. Vereinfachen und kürzen. Im Zähler steht nur noch h:

Schritt 4. h \to 0 gehen lassen.

Das gilt für x > 0. Bei x = 0 wird die Steigung unendlich groß: Der Graph von \sqrt{x} beginnt mit einer senkrechten Tangente. Bei x = 4 ist f'(4) = \frac{1}{2 \cdot 2} = \frac{1}{4}, die Tangente dort ist also y = \frac{1}{4}x + 1.

Rechenbeispiel 4: die alternative Form an einer Stelle

Bestimme f'(3) für f(x) = x^2 - 4x mit f'(a) = \lim_{x \to a} \frac{f(x) - f(a)}{x - a}.

Schritt 1. f(3) berechnen. f(3) = 9 - 12 = -3.

Schritt 2. Grenzwert aufstellen.

Schritt 3. Faktorisieren und kürzen. x^2 - 4x + 3 = (x - 3)(x - 1), der Grenzwert wird also zu \lim_{x \to 3} (x - 1).

Schritt 4. Einsetzen. f'(3) = 3 - 1 = 2.

Kontrolle mit der Potenzregel: f'(x) = 2x - 4 und f'(3) = 2.

Was dir die Ableitung verrät

Wenn du f'(x) hast, liefert sie mehr als die Steigung an einer Stelle. Sie ist eine neue Funktion, die die Steigung an jeder Stelle angibt, und diese Steigung hat im Sachzusammenhang eine Bedeutung.

• Steigung der Tangente. f'(a) ist die Steigung der Geraden, die den Graphen bei x = a gerade berührt. Die Tangente lautet y = f(a) + f'(a)(x - a).
• Momentane Änderungsrate. Ist s(t) die Position zur Zeit t, dann ist der Differenzenquotient eine Durchschnittsgeschwindigkeit über ein Zeitintervall der Länge h. Sein Grenzwert s'(t) ist die Geschwindigkeit im Zeitpunkt t.
• Steigend oder fallend. Wo f'(x) > 0 ist, steigt der Graph, wo f'(x) < 0 ist, fällt er. Für f(x) = x^2 ist f'(x) = 2x negativ für x < 0 und positiv für x > 0, und genau das ist die Form der Parabel.

Die Schreibweise unterscheidet sich von Buch zu Buch, aber all das bedeutet dasselbe:

Die Leibniz-Schreibweise \frac{dy}{dx} erinnert daran, woher die Ableitung kommt: eine kleine Änderung von y geteilt durch eine kleine Änderung von x, im Grenzwert.

Wann die Ableitung nicht existiert

Der Grenzwert in der Definition kann scheitern. Für f(x) = |x| bei x = 0 ist der Differenzenquotient \frac{|h|}{h}, und der ist 1 für h > 0 und -1 für h < 0. Die einseitigen Grenzwerte stimmen nicht überein, also existiert f'(0) nicht. Grafisch hat der Knick im Ursprung keine eindeutige Tangente. Auch an Sprüngen, Lücken und senkrechten Tangenten sind Funktionen nicht differenzierbar. Eine Funktion muss also stetig sein, um eine Ableitung zu haben.

Typische Fehler bei der h-Methode

1. f(x) + h statt f(x + h) schreiben. Für f(x) = x^2 ist f(x + h) gleich (x + h)^2, nicht x^2 + h.
2. (x + h)^2 als x^2 + h^2 ausmultiplizieren. Der mittlere Term 2xh ist die ganze Ableitung. Lass ihn nie weg.
3. h = 0 zu früh einsetzen. Steht noch ein h allein im Nenner, vereinfache weiter.
4. Das Minuszeichen in f(x+h) - f(x) verlieren. Setze f(x) in Klammern: -(x^2 - 4x) wirkt auf beide Terme.
5. Das \lim weglassen. Schreibe \lim_{h \to 0} in jede Zeile, bis du tatsächlich h \to 0 gehen lässt.

Kurzübersicht

Übung trainiert die Algebra

Die h-Methode ist vor allem sorgfältige Algebra: ausmultiplizieren, Brüche zusammenfassen und mit dem konjugierten Term erweitern, ohne einen Term zu verlieren. Die interaktive Lektion unten führt dich Schritt für Schritt durch Differenzenquotienten, prüft jede Zeile sofort und zeigt dir genau, wo ein Vorzeichen oder ein 2xh verloren gegangen ist. Sobald es klick macht, ergeben die Abkürzungsregeln vollkommen Sinn.