Produktregel und Quotientenregel: Formeln, Merksätze, Beispiele

Du weißt, wie man x^3 ableitet, und du weißt, wie man \sin x ableitet. Aber was ist die Ableitung von x^3 \sin x oder von \frac{x^2+1}{x-1}? Es ist verlockend, jeden Teil abzuleiten und die Ergebnisse zu multiplizieren oder zu teilen, und das liefert jedes Mal das falsche Ergebnis. Die Produktregel und die Quotientenregel sind die richtigen Werkzeuge, und wenn du die Muster einmal draufhast, brauchst du nur Sekunden.

Was sind Produktregel und Quotientenregel?

Die Produktregel ist die Formel für die Ableitung zweier miteinander multiplizierter Funktionen. Die Quotientenregel ist die Formel für die Ableitung einer Funktion, die durch eine andere geteilt wird. Beide sind Abkürzungen, die aus der Grenzwertdefinition der Ableitung folgen, du musst bei einem Produkt oder Bruch also nie zu Grenzwerten zurück.

Schreibe u und v für zwei differenzierbare Funktionen von x und u' und v' für ihre Ableitungen.

Produktregel:

Quotientenregel:

Beachte, dass keine der Regeln "Ableitungen multiplizieren" oder "Ableitungen teilen" lautet. Zum Beispiel ist \frac{d}{dx}(x \cdot x) = \frac{d}{dx}x^2 = 2x, aber das Produkt der Ableitungen wäre 1 \cdot 1 = 1. Die Regeln gibt es genau deshalb, weil die naive Vermutung scheitert.

Merksätze, die hängen bleiben

Für die Produktregel sag dir: "Ableitung des ersten mal den zweiten, plus den ersten mal Ableitung des zweiten." Da es bei der Addition nicht auf die Reihenfolge ankommt, kannst du auch uv' + u'v schreiben. In jedem Fall enthält jeder Term genau eine Ableitung.

Für die Quotientenregel lautet der klassische Merksatz:

Tipp: "NAZ minus ZAN durch N-Quadrat." Dabei steht N für den Nenner v, Z für den Zähler u und A für "Ableitung von". Also: v \cdot u' minus u \cdot v', alles geteilt durch v^2.

Wegen des Minuszeichens ist die Reihenfolge in der Quotientenregel wichtig. Beginne immer mit der Ableitung des Zählers. Vertauschst du die beiden Terme, hat dein Ergebnis das falsche Vorzeichen.

Warum die Produktregel gilt

Stell dir ein Rechteck mit den Seiten u und v vor, seine Fläche ist also uv. Jetzt veränderst du x ein wenig. Die Seite u wächst um einen kleinen Betrag \Delta u und die Seite v um \Delta v. Zur Fläche kommen drei Stücke hinzu: ein Streifen der Größe \Delta u \cdot v, ein Streifen der Größe u \cdot \Delta v und eine winzige Ecke \Delta u \cdot \Delta v.

Teile durch \Delta x und lass \Delta x \to 0 gehen. Die beiden Streifen werden zu u'v und uv'. Die Ecke schrumpft viel schneller als die Streifen gegen null und verschwindet. Übrig bleibt genau u'v + uv'. Die Fläche ändert sich, weil sich beide Seiten ändern, und jede Seite steuert ihren eigenen Streifen bei.

Rechenbeispiel 1: ein Polynom mal eine trigonometrische Funktion

Leite y = x^3 \sin x ab.

Schritt 1. Faktoren benennen. u = x^3 und v = \sin x.

Schritt 2. Jeden Faktor ableiten. u' = 3x^2 und v' = \cos x.

Schritt 3. In u'v + uv' einsetzen.

Schritt 4. Ausklammern, wenn es hilft. Klammerst du x^2 aus, erhältst du y' = x^2(3\sin x + x\cos x). Beide Formen sind richtig.

Rechenbeispiel 2: die Regel an einem Produkt von Polynomen prüfen

Leite y = (2x+1)(x^2-3) ab.

Schritt 1. u = 2x + 1, also u' = 2. Und v = x^2 - 3, also v' = 2x.

Schritt 2. Produktregel anwenden.

Schritt 3. Vereinfachen.

Kontrolle durch vorheriges Ausmultiplizieren. (2x+1)(x^2-3) = 2x^3 + x^2 - 6x - 3, die Ableitung ist 6x^2 + 2x - 6. Dasselbe Ergebnis. Bei zwei Polynomen ist Ausmultiplizieren und die Potenzregel oft genauso schnell. Die Produktregel lohnt sich, wenn sich die Faktoren nicht ausmultiplizieren lassen, wie bei x^3 \sin x oder x^2 e^x.

Rechenbeispiel 3: wo ein Produkt eine waagerechte Tangente hat

Bestimme, wo y = x^2 e^x eine waagerechte Tangente hat.

Schritt 1. u = x^2, u' = 2x, v = e^x, v' = e^x.

Schritt 2. Produktregel anwenden.

Schritt 3. Ausklammern. Beide Terme enthalten x e^x:

Schritt 4. Gleich null setzen. Da e^x nie null ist, gilt y' = 0 nur bei x = 0 oder x = -2. Die Punkte sind (0, 0) und (-2, 4e^{-2}) \approx (-2, 0.54).

Die Ableitung zu faktorisieren ist die Gewohnheit, die sich hier auszahlt. Eine faktorisierte Ableitung zeigt dir ihre Nullstellen auf einen Blick.

Rechenbeispiel 4: die Quotientenregel bei Polynomen

Leite y = \dfrac{x^2 + 1}{x - 1} ab.

Schritt 1. Zähler und Nenner benennen. Zähler: u = x^2 + 1, also u' = 2x. Nenner: v = x - 1, also v' = 1.

Schritt 2. NAZ minus ZAN.

Schritt 3. Nur den Zähler ausmultiplizieren.

Schritt 4. Ergebnis aufschreiben. Lass den Nenner quadriert stehen, ausmultiplizieren hilft selten.

Bei x = 2 ist der Funktionswert \frac{5}{1} = 5 und die Steigung \frac{4 - 4 - 1}{1} = -1, die Tangente dort ist also y = -x + 7.

Rechenbeispiel 5: die Ableitung von tan x herleiten

Leite y = \tan x ab, indem du es als \dfrac{\sin x}{\cos x} schreibst.

Schritt 1. Zähler: u = \sin x, u' = \cos x. Nenner: v = \cos x, v' = -\sin x.

Schritt 2. Quotientenregel anwenden.

Schritt 3. \sin^2 x + \cos^2 x = 1 verwenden.

So findet man die Ableitungen von \tan x, \cot x, \sec x und \csc x. Die vollständige Liste findest du unter Ableitungen trigonometrischer Funktionen.

Wann du lieber zuerst vereinfachst

Die Quotientenregel ist zuverlässig, aber umständlich. Bevor du zu ihr greifst, frag dich, ob ein wenig Algebra sie überflüssig macht.

Eine Konstante im Nenner. y = \dfrac{x^3 - 5x}{4} ist einfach \tfrac{1}{4}(x^3 - 5x), also y' = \tfrac{1}{4}(3x^2 - 5).

Eine Konstante im Zähler. y = \dfrac{5}{x^2} ist 5x^{-2}, also y' = -10x^{-3} = -\dfrac{10}{x^3}. Die Quotientenregel liefert dasselbe, aber mit vier zusätzlichen Zeilen.

Eine einzelne Potenz von x im Nenner. Teile Term für Term:

Ebenso ist \dfrac{x^2 + \sqrt{x}}{x} = x + x^{-1/2}, mit der Ableitung 1 - \tfrac{1}{2}x^{-3/2}.

Ein Produkt, das du ausmultiplizieren kannst. Wie in Beispiel 2 vermeidest du die Produktregel ganz, wenn du zwei kurze Polynome ausmultiplizierst und die Potenzregel verwendest.

Tipp: Besteht der Nenner aus einem einzigen Term, teile. Ist er eine Summe wie x - 1 oder x^2 + 4, verwende die Quotientenregel.

Produkte aus drei Funktionen

Die Produktregel lässt sich ganz natürlich erweitern. Bei drei Faktoren leitest du jeweils einen ab und addierst:

Zum Beispiel gilt für y = x e^x \sin x:

In jedem Term ist genau ein Faktor abgeleitet.

Typische Fehler bei Produkt- und Quotientenregel

1. Die Ableitungen multiplizieren. \frac{d}{dx}(x^2 \sin x) \neq 2x \cos x. Richtig ist 2x\sin x + x^2 \cos x.
2. Den Zähler der Quotientenregel umdrehen. uv' - u'v kehrt das Vorzeichen des ganzen Ergebnisses um. Beginne mit der Ableitung des Zählers.
3. Vergessen, den Nenner zu quadrieren. Unten steht v^2, nicht v.
4. Klammern weglassen. In (x-1)(2x) - (x^2+1)(1) wirkt das Minuszeichen auf das ganze x^2 + 1. Ohne Klammern wird aus -1 ein +1.
5. Die Quotientenregel bei konstantem Nenner verwenden. Das funktioniert, ist aber langsam und eine Fehlerquelle. Zieh die Konstante heraus.
6. Den Nenner ausmultiplizieren. (x-1)^2 ist faktorisiert leichter zu lesen und leichter zu nutzen, um herauszufinden, wo die Ableitung nicht definiert ist.

Kurzübersicht

Taucht eine innere Funktion auf, etwa \sin(3x) in einem Produkt, kombinierst du diese Regeln mit der Kettenregel.

Üben, bis das Muster automatisch sitzt

Produkt- und Quotientenregel sind mechanisch, und das ist eine gute Nachricht: Ein paar Dutzend Aufgaben reichen, damit sie dir in Fleisch und Blut übergehen. Arbeite die interaktive Lektion unten durch. Jede Antwort wird sofort geprüft, und wenn du die Terme in einem Quotienten vertauschst oder einen Faktor vergisst, siehst du genau, wo es schiefging, bevor du weitermachst.