Derivada de xˣ: fórmula, demostración y ejemplos
La derivada de xˣ es xˣ(ln x + 1). Aprende dos métodos, la derivación logarítmica y la reescritura como e^(x ln x), con una gráfica y ejemplos.
Derivadas exponenciales y logarítmicas Actualizado 3 min de lectura
De un vistazo
- Derivada
- x^x(\ln x + 1) para x > 0
- Reescritura clave
- x^x = e^{x\ln x}
- Método
- derivación logarítmica
- Mínimo
- x = \frac{1}{e}, valor e^{-1/e} \approx 0.692
- Forma general
- \dfrac{d}{dx}f^g = f^g\left(g'\ln f + \dfrac{gf'}{f}\right)
En esta página
La derivada de x^x es x^x(\ln x + 1). Es el ejemplo clásico de función que necesita derivación logarítmica.
Por qué fallan las reglas habituales
| Función | Base | Exponente | Regla | Derivada |
|---|---|---|---|---|
| x^3 | variable | constante | regla de la potencia | 3x^2 |
| 3^x | constante | variable | regla de la exponencial | 3^x\ln 3 |
| x^x | variable | variable | ninguna por sí sola | x^x(\ln x + 1) |
Aplicar la regla de la potencia da x\cdot x^{x-1} = x^x, y aplicar la regla de la exponencial da x^x\ln x. Las dos son incorrectas. Curiosamente, el resultado correcto es su suma.
Método 1: derivación logarítmica
Sea y = x^x. Toma el logaritmo natural en ambos lados para bajar el exponente:
Deriva ambos lados. El lado izquierdo necesita derivación implícita, y el derecho la regla del producto (es la derivada de x ln x):
Multiplica por y = x^x:
Método 2: reescribir con base e
Como x = e^{\ln x}, tenemos x^x = e^{x\ln x}. Ahora usa la regla de la cadena con función exterior e^u:
En el fondo, los dos métodos son la misma idea. Usa el que te resulte más natural.
Gráfica de xˣ y de su derivada
Como x^x > 0, el signo de la derivada depende solo de \ln x + 1. Es negativa para x < \frac{1}{e} y positiva después, así que el mínimo está en x = \frac{1}{e}. Su valor es \left(e^{-1}\right)^{1/e} = e^{-1/e} \approx 0.692.
Ejemplos resueltos
Ejemplo 1: pendiente en x = 2. \frac{d}{dx}x^x\big|_{x = 2} = 2^2(\ln 2 + 1) = 4(1.693) \approx 6.77.
Ejemplo 2: x elevado a sen x. Sea y = x^{\sin x}. Entonces \ln y = \sin x\ln x, y
Ejemplo 3: x elevado a 1/x. Sea y = x^{1/x}. Entonces \ln y = \frac{\ln x}{x}, y la regla del cociente da
Vale cero en x = e, así que x^{1/x} alcanza su máximo en x = e, con valor e^{1/e} \approx 1.445.
Ejemplo 4: x elevado a x al cuadrado. Para y = x^{x^2}, \ln y = x^2\ln x, así que y' = x^{x^2}(2x\ln x + x).
Errores comunes
- Regla de la potencia: x\cdot x^{x-1} = x^x. Incorrecto, porque el exponente no es constante.
- Regla de la exponencial: x^x\ln x. Incorrecto, porque la base no es constante.
- Olvidar multiplicar por y al final de la derivación logarítmica, dejando solo \ln x + 1.
Para más sobre este método, consulta los ejercicios de derivación implícita y la derivada de 2ˣ y aˣ.
Practícalo ahora
Derivación implícita
Resuelve problemas reales de este tema con corrección al instante, pistas y una solución paso a paso para cada respuesta. Gratis y sin registro para empezar.
Practicar esta lección