Derivada de x ln x: fórmula, pasos y ejemplos
La derivada de x ln x es ln x + 1. Pasos con la regla del producto, el mínimo en x = 1/e, la segunda derivada, una gráfica y ejemplos parecidos.
Derivadas exponenciales y logarítmicas Actualizado 2 min de lectura
De un vistazo
- Derivada
- \ln x + 1 para x > 0
- Segunda derivada
- \dfrac{1}{x}
- Mínimo
- x = \frac{1}{e}, valor -\frac{1}{e} \approx -0.368
- Límite en 0
- \lim_{x \to 0^+} x\ln x = 0
- Integral
- \int x\ln x\,dx = \frac{x^2}{2}\ln x - \frac{x^2}{4} + C
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La derivada de x\ln x es \ln x + 1. Es un producto, así que la regla del producto hace todo el trabajo.
Paso a paso con la regla del producto
La regla del producto dice (fg)' = f'g + fg'. Toma f = x y g = \ln x:
- f' = 1.
- g' = \frac{1}{x}, por la derivada de ln x.
- Combina: 1\cdot\ln x + x\cdot\frac{1}{x} = \ln x + 1.
La x de delante se simplifica con el \frac{1}{x} del logaritmo y deja un resultado limpio.
Gráfica de x ln x y de su derivada
Cálculo del mínimo
Iguala la derivada a cero:
Para x < \frac{1}{e} la derivada es negativa, y para x > \frac{1}{e} es positiva, así que es un mínimo. Su valor es
La segunda derivada lo confirma: \frac{d^2}{dx^2}x\ln x = \frac{1}{x}, que es positiva para todo x > 0, así que la curva es cóncava hacia arriba en todas partes.
Qué ocurre cerca de x = 0
La gráfica parece empezar en el origen, aunque x\ln x no está definida en 0. Eso se debe a que \lim_{x \to 0^+} x\ln x = 0. Escríbelo como \frac{\ln x}{1/x} y aplica la regla de L'Hôpital:
Mientras tanto, la pendiente \ln x + 1 tiende a -\infty, así que la curva sale del origen casi en vertical.
Ejemplos relacionados
Ejemplo 1. \frac{d}{dx}(x\ln x - x) = \ln x + 1 - 1 = \ln x. Esto muestra que x\ln x - x es una antiderivada de \ln x; consulta la integral de ln x.
Ejemplo 2. \frac{d}{dx}x^2\ln x = 2x\ln x + x^2\cdot\frac{1}{x} = 2x\ln x + x = x(2\ln x + 1).
Ejemplo 3. \frac{d}{dx}\frac{\ln x}{x} = \frac{\frac{1}{x}\cdot x - \ln x}{x^2} = \frac{1 - \ln x}{x^2}, por la regla del cociente. Su máximo está en x = e.
Ejemplo 4. \frac{d}{dx}x\ln(3x) = \ln(3x) + 1, ya que también \frac{d}{dx}\ln(3x) = \frac{1}{x}.
Errores comunes
- Multiplicar las derivadas. 1\cdot\frac{1}{x} = \frac{1}{x} no es la regla del producto. Necesitas los dos términos.
- Olvidar el dominio. x\ln x solo existe para x > 0, así que el mínimo solo se busca ahí.
- Confundirla con x^x. \frac{d}{dx}x^x = x^x(\ln x + 1). El factor \ln x + 1 aparece porque x^x = e^{x\ln x}; consulta la derivada de xˣ.
Para ir en sentido inverso, la integral de x ln x usa integración por partes. Practica más ejercicios de la regla del producto en los ejercicios de la regla del producto y del cociente.
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