Ejercicios de derivación implícita resueltos con respuestas

Estos ejercicios de derivación implícita empiezan con circunferencias y productos sencillos, después añaden funciones trigonométricas y exponenciales, y terminan con rectas tangentes, tangentes horizontales y una segunda derivada. Intenta cada uno primero. Las respuestas están justo después de la lista, y luego vienen las soluciones completas.

La idea clave: como y depende de x, la regla de la cadena da

Así, \frac{d}{dx}y^2 = 2y\frac{dy}{dx} y \frac{d}{dx}\sin y = \cos y\frac{dy}{dx}. A continuación, y' significa \frac{dy}{dx}. Para repasar, consulta la regla de derivación implícita o la guía de derivación implícita.

Ejercicios

Halla dy/dx

1. x^2 + y^2 = 25
2. xy = 8
3. \sqrt{x} + \sqrt{y} = 5
4. x^2 + xy + y^2 = 7
5. x^3 + y^3 = 6xy

Trigonométricas y exponenciales

6. \tan y = x
7. e^y = x^2 + y
8. \cos(xy) = y

Rectas tangentes y segundas derivadas

9. Halla la recta tangente a x^2 + y^2 = 25 en (3, -4).
10. Halla la recta tangente a x^2 + xy + y^2 = 7 en (1, 2).
11. Halla los puntos donde x^2 + xy + y^2 = 7 tiene recta tangente horizontal.
12. Halla y'' para x^2 + y^2 = 25, solo en función de y.

Respuestas

Soluciones paso a paso

1. Deriva ambos lados. El lado derecho es una constante:

2. El lado izquierdo es un producto, así que usa la regla del producto:

3. Escribe las raíces como potencias de \frac{1}{2}:

4. El término central necesita la regla del producto:

Agrupa los términos con y': y'(x + 2y) = -(2x + y), así que

5. El lado derecho 6xy necesita la regla del producto:

Pasa los términos con y' a la izquierda y el resto a la derecha: y'(3y^2 - 6x) = 6y - 3x^2. Divide entre 3:

6. Deriva ambos lados: \sec^2 y\cdot y' = 1, así que y' = \frac{1}{\sec^2 y}. Usa \sec^2 y = 1 + \tan^2 y = 1 + x^2:

Así es exactamente como se demuestra la derivada de arctan x, ya que \tan y = x significa y = \arctan x.

7. Deriva: e^y\,y' = 2x + y'. Agrupa y':

8. El lado izquierdo es una regla de la cadena con un producto dentro:

Desarrolla: -y\sin(xy) - x\sin(xy)\,y' = y'. Agrupa y' a la derecha:

9. Del ejercicio 1, y' = -\frac{x}{y}. En (3, -4) la pendiente es -\frac{3}{-4} = \frac{3}{4}:

10. Primero comprueba el punto: 1 + 2 + 4 = 7. Del ejercicio 4, la pendiente en (1, 2) es

11. Una tangente horizontal necesita y' = 0, así que el numerador de la respuesta del ejercicio 4 debe ser cero: 2x + y = 0, es decir, y = -2x. Sustituye en la curva:

Después y = -2x da los dos puntos de la tabla de respuestas. En ambos puntos el denominador x + 2y = -3x no es cero, así que la pendiente es realmente 0.

12. Parte de y' = -\frac{x}{y} y usa la regla del cociente:

Sustituye y' = -\frac{x}{y}:

Sobre la curva, x^2 + y^2 = 25, así que y'' = -\frac{25}{y^3}.

Errores comunes en estos ejercicios

• Olvidar y' en los términos con y. \frac{d}{dx}y^2 es 2y\,y', no 2y. Todo término con y debe llevar ese factor.
• Tratar xy como una sola variable. En el ejercicio 2, \frac{d}{dx}(xy) necesita la regla del producto, que da dos términos.
• Derivar la constante como si fuera algo. En el ejercicio 1, la derivada de 25 es 0.
• No sustituir y' en una segunda derivada. En el ejercicio 12, reemplaza y' por -\frac{x}{y} antes de simplificar.

Sigue practicando

Estos 12 ejercicios usan números fijos. Para practicar sin límite con curvas nuevas y corrección al instante, prueba la lección de derivación implícita. La derivación implícita respecto al tiempo es la herramienta principal en los ejercicios de razones de cambio relacionadas, y es la forma de demostrar las derivadas de funciones trigonométricas inversas.