Ejercicios resueltos de razones de cambio relacionadas

Cada uno de estos ejercicios de razones de cambio relacionadas (también llamadas tasas relacionadas) describe una situación en la que dos o más magnitudes cambian a la vez. Sabes lo rápido que cambia una y necesitas la tasa de otra. Haz cada planteamiento antes de comprobarlo. Las respuestas aparecen justo después de la lista, y luego las soluciones completas.

Todos los problemas siguen los mismos cinco pasos:

1. Haz un dibujo y nombra las magnitudes que cambian.
2. Escribe la tasa conocida y la que buscas, con unidades y signos.
3. Escribe una ecuación que relacione las magnitudes.
4. Deriva los dos lados respecto de t.
5. Sustituye los valores del instante dado y despeja.

Para saber más sobre el método, lee la guía de razones de cambio relacionadas.

Ejercicios

Fórmulas geométricas

1. Onda en el agua. Una piedra cae en un estanque y forma una onda circular. El radio crece a 3 cm/s. ¿A qué velocidad crece el área dentro de la onda cuando el radio mide 10 cm?
2. Globo. Se bombea aire en un globo esférico a 100 cm³/s. ¿A qué velocidad aumenta el radio cuando mide 5 cm?
3. Cubo que crece. Las aristas de un cubo crecen a 0.5 cm/s. ¿A qué velocidad crece el volumen cuando cada arista mide 4 cm?

Triángulos rectángulos

4. Escalera que resbala. Una escalera de 10 ft (pies) está apoyada en una pared. Se tira del pie de la escalera alejándolo de la pared a 2 ft/s. ¿A qué velocidad baja el extremo superior por la pared cuando el pie está a 6 ft de la pared?
5. Ángulo de la escalera. En el ejercicio 4, ¿a qué velocidad cambia el ángulo entre la escalera y el suelo en ese mismo instante?
6. Dos coches. El coche A sale de un cruce hacia el norte a 60 mph (millas por hora). Al mismo tiempo, el coche B sale hacia el este a 45 mph. ¿A qué velocidad crece la distancia entre ellos al cabo de 2 horas?
7. Globo y observador. Un globo aerostático sube en vertical a 4 m/s. Un observador está a 300 m del punto de despegue. ¿A qué velocidad cambia el ángulo de elevación del observador al globo cuando el globo está a 400 m de altura?

Triángulos semejantes y curvas

8. Llenar un cono. Un depósito de agua tiene forma de cono con el vértice hacia abajo. Mide 12 ft de alto y 4 ft de radio en la parte superior. Entra agua a 9 ft³/min. ¿A qué velocidad sube el nivel del agua cuando la profundidad es de 6 ft?
9. Sombra. Una persona de 6 ft de altura se aleja de una farola de 15 ft a 5 ft/s. ¿A qué velocidad crece la longitud de su sombra?
10. Punto en movimiento. Un punto se mueve por la curva y = x^2 de modo que su coordenada x aumenta a 3 unidades/s. ¿A qué velocidad cambia su distancia al origen cuando el punto está en (2, 4)?

Respuestas

Soluciones paso a paso

1. Dato: \frac{dr}{dt} = 3. Incógnita: \frac{dA}{dt} cuando r = 10. El área del círculo es A = \pi r^2. Deriva respecto de t:

2. Dato: \frac{dV}{dt} = 100. Incógnita: \frac{dr}{dt} cuando r = 5. El volumen es V = \frac{4}{3}\pi r^3:

3. Dato: \frac{ds}{dt} = 0.5. Incógnita: \frac{dV}{dt} cuando s = 4. El volumen es V = s^3:

4. Sea x la distancia de la pared al pie de la escalera e y la altura del extremo superior. Dato: \frac{dx}{dt} = 2. Incógnita: \frac{dy}{dt} cuando x = 6. La longitud de la escalera es fija:

Cuando x = 6, y = \sqrt{100 - 36} = 8. Deriva:

El signo menos significa que el extremo superior baja.

5. Sea \theta el ángulo en el suelo. Entonces \cos\theta = \frac{x}{10}. Deriva:

En ese instante \sin\theta = \frac{y}{10} = \frac{8}{10}, así que

El ángulo se hace más pequeño a medida que la escalera resbala.

6. Sea y la distancia del coche A hacia el norte, x la del coche B hacia el este y z la distancia entre ellos. Al cabo de 2 horas, y = 120, x = 90 y z = \sqrt{90^2 + 120^2} = 150. A partir de x^2 + y^2 = z^2:

7. Sea h la altura y \theta el ángulo de elevación. Dato: \frac{dh}{dt} = 4. El observador está a 300 m, así que \tan\theta = \frac{h}{300}. Deriva:

Cuando h = 400, la línea de visión mide \sqrt{300^2 + 400^2} = 500 m, así que \cos\theta = \frac{3}{5} y \sec^2\theta = \frac{25}{9}:

8. Sea h la profundidad del agua y r el radio de la superficie del agua. Dato: \frac{dV}{dt} = 9. Incógnita: \frac{dh}{dt} cuando h = 6. Por triángulos semejantes, \frac{r}{h} = \frac{4}{12}, así que r = \frac{h}{3}. Sustituye en el volumen del cono para eliminar r:

Deriva y sustituye h = 6:

9. Sea x la distancia de la persona a la farola y s la longitud de la sombra. Dato: \frac{dx}{dt} = 5. La farola, la persona y el extremo de la sombra forman dos triángulos semejantes:

Deriva:

La respuesta no depende de dónde esté la persona. El extremo de la sombra se mueve a 5 + \frac{10}{3} = \frac{25}{3} ft/s.

10. Sea D la distancia al origen. Como y = x^2:

Deriva respecto de t:

En (2, 4), D = \sqrt{4 + 16} = \sqrt{20}, y \frac{dx}{dt} = 3:

Errores comunes en estos ejercicios

• Sustituir los números demasiado pronto. En el ejercicio 4, escribir 36 + y^2 = 100 antes de derivar convierte x en una constante y la tasa desaparece.
• Ignorar el signo. En el ejercicio 4 la respuesta es negativa. Decir "el extremo superior se mueve a 1,5 ft/s" está bien, pero debes saber en qué dirección.
• Mantener r y h en el cono. En el ejercicio 8, usa triángulos semejantes para escribir r en función de h antes de derivar.
• Usar grados. En los ejercicios 5 y 7 las tasas salen en radianes por segundo, porque las derivadas trigonométricas solo funcionan en radianes.

Sigue practicando

Estos 10 ejercicios usan números fijos. Para practicar sin límite con números nuevos y corrección al instante en cada paso, prueba la lección de razones de cambio relacionadas y luego la práctica mixta de aplicaciones. El otro gran tipo de problema de enunciado es la optimización: practícalo con los ejercicios de optimización.