Ejercicios de la regla de L'Hôpital resueltos con respuestas

Estos ejercicios de la regla de L'Hôpital cubren las siete indeterminaciones: \frac{0}{0}, \frac{\infty}{\infty}, 0\cdot\infty, \infty - \infty, 0^0, 1^\infty e \infty^0. El último ejercicio es una trampa en la que la regla no se aplica. Las respuestas están justo después de la lista, y luego vienen las soluciones completas.

La regla:

Para el enunciado completo y por qué funciona, consulta la página de la regla de L'Hôpital.

Ejercicios

Formas 0/0

1. \displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{e^{2x} - 1}{\sin x}
2. \displaystyle\lim_{x\to 1}\frac{\ln x}{x - 1}
3. \displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{x - \sin x}{x^3}

Formas ∞/∞

4. \displaystyle\lim_{x\to\infty}\frac{x^2}{e^x}
5. \displaystyle\lim_{x\to\infty}\frac{\ln x}{\sqrt{x}}

Productos y diferencias

6. \displaystyle\lim_{x\to 0^+} x\ln x
7. \displaystyle\lim_{x\to\infty} x\sin\!\left(\frac{1}{x}\right)
8. \displaystyle\lim_{x\to 0}\left(\frac{1}{x} - \frac{1}{e^x - 1}\right)

Formas exponenciales

9. \displaystyle\lim_{x\to 0^+} x^x
10. \displaystyle\lim_{x\to\infty} x^{1/x}
11. \displaystyle\lim_{x\to\infty}\left(1 + \frac{3}{x}\right)^x

Comprueba antes de empezar

12. \displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{x^2 + 3}{x + 1}

Respuestas

Soluciones paso a paso

1. La sustitución da \frac{0}{0}. Deriva numerador y denominador:

2. La sustitución da \frac{\ln 1}{0} = \frac{0}{0}:

3. Cada aplicación sigue dando \frac{0}{0}, así que aplica la regla tres veces:

4. Es \frac{\infty}{\infty}. Dos aplicaciones:

Las exponenciales ganan a cualquier potencia de x.

5. De nuevo \frac{\infty}{\infty}:

Los logaritmos pierden frente a cualquier potencia positiva de x.

6. Es 0\cdot(-\infty). Pasa x al denominador como \frac{1}{x} para obtener \frac{-\infty}{\infty}:

7. Es \infty\cdot 0. Reescribe como \frac{\sin(1/x)}{1/x}, que es \frac{0}{0}. Sea t = \frac{1}{x}, así que t\to 0^+:

8. Es \infty - \infty. Combina en una sola fracción:

Eso es \frac{0}{0}. Deriva, y sigue siendo \frac{0}{0}, así que deriva otra vez:

9. Es 0^0. Llama L al límite y toma logaritmos. El ejercicio 6 ya calculó este límite:

10. Es \infty^0. Toma logaritmos:

11. Es 1^\infty. Toma logaritmos y escribe el producto como una fracción \frac{0}{0}:

Deriva el numerador, \frac{1}{1 + 3/x}\cdot\left(-\frac{3}{x^2}\right), y el denominador, -\frac{1}{x^2}:

12. Sustituye primero: \frac{0 + 3}{0 + 1} = 3. Es un número real, así que el límite es 3 y has terminado. Usar L'Hôpital aquí daría \frac{2x}{1}\to 0, que es incorrecto, porque la regla solo funciona con indeterminaciones.

Errores comunes en estos ejercicios

• Usar la regla del cociente. L'Hôpital significa \frac{f'}{g'}, no \left(\frac{f}{g}\right)'. Deriva el numerador y el denominador cada uno por su lado.
• Saltarse la comprobación. El ejercicio 12 muestra lo que pasa: la regla da una respuesta incorrecta cuando la forma no es indeterminada.
• Olvidar deshacer el logaritmo. En los ejercicios 9 a 11 hallas primero \ln L. La respuesta del ejercicio 11 es e^3, no 3.
• Aplicar la regla directamente a un producto. En el ejercicio 6 debes reescribir x\ln x como fracción antes de derivar.

Sigue practicando

Estos 12 ejercicios usan números fijos. Para practicar sin límite con límites nuevos cada vez y corrección al instante, prueba la lección de la regla de L'Hôpital. Para más ejemplos resueltos y el razonamiento detrás de cada indeterminación, lee la guía de la regla de L'Hôpital. Para repasar primero los métodos algebraicos, vuelve a los ejercicios de cálculo de límites.