Función recíproca f(x) = 1/x: gráfica, derivada, integral y límites

La función recíproca f(x) = \frac{1}{x} envía cada número a uno dividido entre él mismo. Es la función racional más sencilla, la función potencia con exponente -1, y el ejemplo clásico de límites infinitos, asíntotas y la derivada del logaritmo natural.

Fórmula

Gráfica de 1/x

La gráfica es una hipérbola con dos ramas, una en el primer cuadrante y otra en el tercero.

Propiedades clave

• Dominio y rango. Todos los reales excepto 0, en ambos casos.
• Función impar. \frac{1}{-x} = -\frac{1}{x}, así que la gráfica es simétrica respecto del origen.
• Asíntotas. Asíntota vertical x = 0, asíntota horizontal y = 0.
• Es su propia inversa. Al despejar x en y = \frac{1}{x} se obtiene x = \frac{1}{y}, así que f^{-1} = f y la gráfica es simétrica respecto de y = x.
• Solo es discontinua en 0, que no pertenece al dominio. Es continua en su dominio.

Límites de 1/x

Como los límites laterales en 0 no coinciden, \lim_{x \to 0}\frac{1}{x} no existe. El límite en el infinito es la pieza básica para calcular los límites al infinito de cualquier función racional.

Derivada de 1/x

Se obtiene con la regla de la potencia con n = -1. La derivada es negativa en todo punto donde está definida, así que la función decrece en cada rama, y las rectas tangentes se vuelven más empinadas cerca de 0 y más planas lejos de él. La segunda derivada es \frac{2}{x^3}: cóncava hacia arriba para x > 0 y cóncava hacia abajo para x < 0.

Integral de 1/x

La regla de la potencia inversa daría \frac{x^0}{0}, que no está definido, así que \frac{1}{x} es la única potencia cuya integral es un logaritmo natural. El valor absoluto cubre los x negativos: para x < 0, \frac{d}{dx}\ln(-x) = \frac{-1}{-x} = \frac{1}{x}.

Una integral definida no puede atravesar x = 0: \int_{-1}^{1}\frac{1}{x}\,dx es una integral impropia que diverge.

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1: recta tangente. En x = 2, f(2) = \frac{1}{2} y f'(2) = -\frac{1}{4}, así que la recta tangente es y = \frac{1}{2} - \frac{1}{4}(x - 2) = -\frac{1}{4}x + 1.

Ejemplo 2: integral definida. \int_1^e \frac{1}{x}\,dx = \ln e - \ln 1 = 1.

Ejemplo 3: una recíproca desplazada. \frac{d}{dx}\frac{3}{x - 1} = -\frac{3}{(x - 1)^2} y \int \frac{3}{x - 1}\,dx = 3\ln|x - 1| + C.

Errores comunes

1. Escribir \int \frac{1}{x}\,dx = \frac{x^0}{0} o \ln x sin el valor absoluto.
2. Equivocarse con el signo de la derivada. \frac{d}{dx}\frac{1}{x} es -\frac{1}{x^2}, no \frac{1}{x^2}.
3. Confundir \frac{1}{x} con x^{-1} como función inversa. \frac{1}{f(x)} es un recíproco, mientras que f^{-1}(x) suele significar una inversa. Para \frac{1}{x} coinciden, lo cual es poco habitual.
4. Integrar a través de la asíntota como si la función fuera continua ahí.

Cómo se relaciona

El área bajo \frac{1}{t} desde 1 hasta x es exactamente \ln x, que es una forma de definir el logaritmo natural. La página de funciones potencia trata la familia x^n a la que pertenece \frac{1}{x}, y la serie armónica \sum \frac{1}{n} es su prima discreta.