Funciones potencia f(x) = xⁿ: gráficas, derivada, integral y reglas

Una función potencia eleva la entrada a un exponente fijo: f(x) = x^n. La familia incluye parábolas, cúbicas, recíprocas y raíces, y una sola regla, la regla de la potencia, deriva a todos sus miembros.

Fórmula

El exponente n es una constante. En general, f(x) = kx^n con un coeficiente constante k. Miembros habituales:

Gráficas de funciones potencia

Cómo el exponente determina la forma de la gráfica:

• n entero par (x^2, x^4, \ldots): forma de U, función par, rango [0, \infty).
• n entero impar (x^3, x^5, \ldots): forma de S, función impar, rango todos los reales.
• n negativo (x^{-1}, x^{-2}, \ldots): no está definida en 0, con una asíntota vertical en x = 0 y una asíntota horizontal y = 0.
• n = \frac{p}{q} fraccionario: una raíz par (q par) restringe el dominio a x \ge 0; una raíz impar admite todos los reales.
• En (0, 1) las potencias más altas son más pequeñas; en (1, \infty) las potencias más altas son más grandes.

Derivada de una función potencia

Baja el exponente y luego réstale uno. Vale para toda constante real n allí donde x^n sea derivable. Observa que para 0 < n < 1, como en \sqrt{x}, la derivada se dispara en x = 0, donde la gráfica tiene una tangente vertical.

Integral de una función potencia

Suma uno al exponente y luego divide entre el nuevo exponente. El caso n = -1 dividiría entre cero; en su lugar

Consulta la regla de la potencia inversa.

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1. \frac{d}{dx}x^7 = 7x^6.

Ejemplo 2: potencia negativa. \frac{d}{dx}\frac{4}{x^3} = \frac{d}{dx}4x^{-3} = -12x^{-4} = -\frac{12}{x^4}.

Ejemplo 3: potencia fraccionaria. \frac{d}{dx}\sqrt[3]{x} = \frac{d}{dx}x^{1/3} = \frac{1}{3}x^{-2/3}.

Ejemplo 4: integral. \int x^{3/2}\,dx = \frac{x^{5/2}}{5/2} + C = \frac{2}{5}x^{5/2} + C.

Ejemplo 5: integral definida. \int_1^4 \frac{1}{\sqrt{x}}\,dx = \left[2x^{1/2}\right]_1^4 = 4 - 2 = 2.

Errores comunes

1. Usar la regla de la potencia con 2^x. Esa es una función exponencial; su derivada es 2^x\ln 2.
2. Restar uno a un exponente negativo en la dirección equivocada. La derivada de x^{-3} es -3x^{-4}, no -3x^{-2}.
3. Aplicar la fórmula de la integral con n = -1. \frac{x^0}{0} no tiene sentido; usa \ln|x|.
4. No reescribir primero. Convierte \frac{1}{x^2} en x^{-2} y \sqrt{x} en x^{1/2} antes de usar cualquiera de las dos reglas.

Cómo se relaciona

Las sumas de funciones potencia con exponentes enteros no negativos son funciones polinómicas, y las series de potencias extienden esa idea a infinitos términos. Para una explicación más profunda con ejercicios de práctica, lee la guía de la regla de la potencia y la de antiderivadas.