Kehrwertfunktion f(x) = 1/x: Graph, Ableitung, Integral, Grenzwerte

Die Kehrwertfunktion f(x) = \frac{1}{x} ordnet jeder Zahl ihren Kehrwert zu. Sie ist die einfachste gebrochenrationale Funktion, die Potenzfunktion mit Exponent -1 und das Standardbeispiel für unendliche Grenzwerte, Asymptoten und die Ableitung des natürlichen Logarithmus.

Formel

Graph von 1/x

Der Graph ist eine Hyperbel mit zwei Ästen, einer im ersten und einer im dritten Quadranten.

Wichtige Eigenschaften

• Definitions- und Wertebereich. Jeweils alle reellen Zahlen außer 0.
• Ungerade Funktion. \frac{1}{-x} = -\frac{1}{x}, der Graph ist also punktsymmetrisch zum Ursprung.
• Asymptoten. Senkrechte Asymptote x = 0, waagerechte Asymptote y = 0.
• Ihre eigene Umkehrfunktion. Löst man y = \frac{1}{x} nach x auf, erhält man x = \frac{1}{y}. Also gilt f^{-1} = f, und der Graph ist symmetrisch zur Geraden y = x.
• Unstetig nur bei 0, und diese Stelle gehört nicht zum Definitionsbereich. Auf ihrem Definitionsbereich ist sie stetig.

Grenzwerte von 1/x

Da die einseitigen Grenzwerte bei 0 verschieden sind, existiert \lim_{x \to 0}\frac{1}{x} nicht. Der Grenzwert im Unendlichen ist der Grundbaustein für Grenzwerte im Unendlichen aller gebrochenrationalen Funktionen.

Ableitung von 1/x

Das folgt aus der Potenzregel mit n = -1. Die Ableitung ist überall, wo sie definiert ist, negativ. Die Funktion fällt also auf jedem Ast, und die Tangenten werden in der Nähe von 0 steiler und weit weg flacher. Die zweite Ableitung ist \frac{2}{x^3}: linksgekrümmt für x > 0, rechtsgekrümmt für x < 0.

Integral von 1/x

Die umgekehrte Potenzregel würde \frac{x^0}{0} liefern, was nicht definiert ist. Daher ist \frac{1}{x} die einzige Potenz, deren Stammfunktion ein natürlicher Logarithmus ist. Der Betrag deckt negative x ab: Für x < 0 gilt \frac{d}{dx}\ln(-x) = \frac{-1}{-x} = \frac{1}{x}.

Ein bestimmtes Integral darf nicht über x = 0 hinweg laufen: \int_{-1}^{1}\frac{1}{x}\,dx ist ein uneigentliches Integral, das divergiert.

Rechenbeispiele

Beispiel 1: Tangente. Bei x = 2 ist f(2) = \frac{1}{2} und f'(2) = -\frac{1}{4}, die Tangente lautet also y = \frac{1}{2} - \frac{1}{4}(x - 2) = -\frac{1}{4}x + 1.

Beispiel 2: bestimmtes Integral. \int_1^e \frac{1}{x}\,dx = \ln e - \ln 1 = 1.

Beispiel 3: ein verschobener Kehrwert. \frac{d}{dx}\frac{3}{x - 1} = -\frac{3}{(x - 1)^2} und \int \frac{3}{x - 1}\,dx = 3\ln|x - 1| + C.

Häufige Fehler

1. \int \frac{1}{x}\,dx = \frac{x^0}{0} schreiben oder \ln x ohne Betrag.
2. Das Vorzeichen der Ableitung falsch setzen. \frac{d}{dx}\frac{1}{x} ist -\frac{1}{x^2}, nicht \frac{1}{x^2}.
3. \frac{1}{x} und x^{-1} als Umkehrfunktion verwechseln. \frac{1}{f(x)} ist ein Kehrwert, während f^{-1}(x) meist die Umkehrfunktion bezeichnet. Bei \frac{1}{x} stimmen beide zufällig überein, was ungewöhnlich ist.
4. Über die Asymptote hinweg integrieren, als wäre die Funktion dort stetig.

Zusammenhänge

Die Fläche unter \frac{1}{t} von 1 bis x ist genau \ln x, und so kann man den natürlichen Logarithmus sogar definieren. Die Seite zu Potenzfunktionen behandelt die Familie x^n, zu der \frac{1}{x} gehört, und die harmonische Reihe \sum \frac{1}{n} ist ihr diskretes Gegenstück.