Funciones racionales: asíntotas, huecos, derivadas e integrales
Funciones racionales P(x)/Q(x): dominio, asíntotas verticales y horizontales, huecos, derivadas con la regla del cociente e integrales por fracciones parciales.
Funciones algebraicas Actualizado 3 min de lectura
De un vistazo
- Dominio
- Todos los x con Q(x) \ne 0
- Derivada
- \frac{P'(x)Q(x) - P(x)Q'(x)}{Q(x)^2}
- Integral
- \int \frac{A}{x - r}\,dx = A\ln|x - r| + C
- Asíntotas verticales
- Ceros de Q que no se simplifican
- Asíntota horizontal
- Compara los grados de P y Q
- Método de integración
- División de polinomios y luego fracciones parciales
En esta página
Una función racional es un polinomio dividido entre otro. Están definidas en todas partes excepto donde el denominador vale cero, y el comportamiento cerca de esos puntos, asíntotas y huecos, es lo que las hace centrales en límites, trazado de curvas e integración.
Definición y fórmula
P y Q son polinomios y Q no es el polinomio cero. El ejemplo más sencillo es la función recíproca \frac{1}{x}. Otros ejemplos son \frac{2x + 1}{x - 1} y \frac{x^2 - 4}{x - 2}.
Gráfica de una función racional
Asíntotas y huecos
Primero factoriza P y Q por completo.
- Hueco. Un factor (x - a) que se simplifica arriba y abajo deja una discontinuidad evitable en x = a. Ejemplo: \frac{x^2 - 4}{x - 2} = x + 2 para x \ne 2, una recta con un hueco en (2, 4).
- Asíntota vertical. Un cero a del denominador que permanece después de simplificar. Cerca de x = a la función tiende a \pm\infty, así que los límites laterales son infinitos.
- Asíntota horizontal. Se obtiene de los límites al infinito, con \deg P = m y \deg Q = n:
| Grados | Comportamiento cuando x \to \pm\infty |
|---|---|
| m < n | asíntota y = 0 |
| m = n | asíntota y = \frac{\text{leading coeff of } P}{\text{leading coeff of } Q} |
| m = n + 1 | asíntota oblicua mediante la división de polinomios |
| m > n + 1 | no hay asíntota recta |
Derivada de una función racional
Usa la regla del cociente:
La derivada vuelve a ser una función racional, con los mismos puntos excluidos de su dominio.
Integración de funciones racionales
No hay una fórmula única. El método habitual es:
- Si \deg P \ge \deg Q, divide para obtener un polinomio más una fracción propia.
- Factoriza Q y descompón la fracción propia en fracciones parciales.
- Integra cada parte. Los factores lineales dan logaritmos, \int \frac{A}{x - r}\,dx = A\ln|x - r| + C; los cuadráticos irreducibles dan arcotangentes.
Ejemplos resueltos
Ejemplo 1: asíntotas. Para f(x) = \frac{2x + 1}{x - 1} no se simplifica nada, así que x = 1 es una asíntota vertical. Los grados son iguales, así que y = \frac{2}{1} = 2 es la asíntota horizontal.
Ejemplo 2: derivada. Con P = 2x + 1 y Q = x - 1:
La derivada es siempre negativa, así que f decrece a cada lado de la asíntota.
Ejemplo 3: un límite con un hueco. \lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 4}{x - 2} = \lim_{x \to 2} (x + 2) = 4.
Ejemplo 4: integral por fracciones parciales. Como \frac{1}{x^2 - 1} = \frac{1/2}{x - 1} - \frac{1/2}{x + 1},
Errores comunes
- Declarar asíntota cada cero del denominador. Simplifica primero los factores comunes; los factores simplificados dan huecos.
- Simplificar términos en lugar de factores. \frac{x + 4}{x + 2} \ne \frac{4}{2}. Solo se simplifican los factores comunes.
- Confundir el orden de la regla del cociente. El numerador es P'Q - PQ'; si lo inviertes, cambia el signo.
- Usar fracciones parciales con una fracción impropia. Divide primero cuando \deg P \ge \deg Q.
Cómo se relaciona
Las funciones racionales son la fuente clásica de límites de la forma \frac{0}{0}, el caso de prueba de la regla de L'Hôpital y la principal aplicación de las fracciones parciales en Cálculo 2. Para trazar sus gráficas se usan todas las herramientas del trazado de curvas.
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