Sinusfunktion sin(x): Graph, Ableitung, Integral und Eigenschaften

Die Sinusfunktion nimmt einen Winkel x, gemessen im Bogenmaß, und liefert die y-Koordinate des Punktes zu diesem Winkel auf dem Einheitskreis. Sie erzeugt die glatte, sich wiederholende Welle hinter Schall, Licht, Gezeiten und allem anderen, was schwingt, und sie ist (zusammen mit dem Kosinus) einer der beiden Bausteine aller anderen Winkelfunktionen.

Definition von sin x

Starte im Punkt (1, 0) auf dem Einheitskreis und laufe die Strecke x gegen den Uhrzeigersinn (im Uhrzeigersinn, wenn x negativ ist). Du landest im Punkt (\cos x, \sin x). Also gilt

Der Sinus ist also die y-Koordinate des Punktes zu diesem Winkel. Im rechtwinkligen Dreieck entspricht das dem bekannten Verhältnis \sin\theta = \frac{\text{opposite}}{\text{hypotenuse}}, also Gegenkathete durch Hypotenuse. Die Version am Einheitskreis funktioniert aber für jede reelle Zahl, auch für negative Winkel und Winkel größer als 2\pi.

Graph von y = sin x

Der Graph geht durch den Ursprung, steigt bis zu seinem Maximum bei x = \frac{\pi}{2}, kehrt bei x = \pi zu null zurück, erreicht sein Minimum bei x = \frac{3\pi}{2} und schließt bei x = 2\pi eine volle Periode ab.

Wichtige Werte des Sinus

Eigenschaften der Sinusfunktion

• Definitions- und Wertebereich. Jede reelle Zahl ist erlaubt, und der Funktionswert liegt immer in [-1, 1].
• Periode. \sin(x + 2\pi) = \sin x. Allgemeiner hat A\sin(bx) die Amplitude |A| und die Periode \frac{2\pi}{|b|}.
• Nullstellen. \sin x = 0 genau dann, wenn x = k\pi für eine ganze Zahl k.
• Ungerade Symmetrie. \sin(-x) = -\sin x, der Graph ist also punktsymmetrisch zum Ursprung.
• Trigonometrischer Pythagoras. \sin^2 x + \cos^2 x = 1 für alle x.
• Verschiebung. \sin x = \cos\left(x - \frac{\pi}{2}\right): Die Sinuskurve ist eine um \frac{\pi}{2} nach rechts verschobene Kosinuskurve.

Ableitung von sin x

Das kannst du am Graphen ablesen: Der Sinus ist bei x = 0 am steilsten (Steigung 1), und dort ist \cos 0 = 1. An seinem Hochpunkt x = \frac{\pi}{2} ist er waagerecht, und dort ist \cos\frac{\pi}{2} = 0. Der Beweis nutzt den Grenzwert \lim_{h \to 0}\frac{\sin h}{h} = 1, und genau deshalb ist das Bogenmaß nötig. Leitet man erneut ab, erhält man \frac{d^2}{dx^2}\sin x = -\sin x, und die Ableitungen durchlaufen alle vier Schritte den Zyklus \sin, \cos, -\sin, -\cos.

Mit der Kettenregel gilt \frac{d}{dx}\sin(u) = \cos(u)\cdot u'.

Integral von sin x

Prüfe es durch Ableiten: \frac{d}{dx}(-\cos x) = -(-\sin x) = \sin x. Unter einem Bogen beträgt die Fläche \int_0^{\pi}\sin x\,dx = -\cos\pi + \cos 0 = 2, und über eine volle Periode ist die orientierte Fläche \int_0^{2\pi}\sin x\,dx = 0.

Rechenbeispiele

Beispiel 1: Kettenregel. Leite f(x) = \sin(x^2) ab. Die innere Funktion ist x^2 mit Ableitung 2x, also f'(x) = 2x\cos(x^2).

Beispiel 2: Produktregel. Leite g(x) = x\sin x ab. Nach der Produktregel ist g'(x) = \sin x + x\cos x.

Beispiel 3: Substitutionsregel. Berechne \int \sin(5x)\,dx. Setze u = 5x, also du = 5\,dx:

Beispiel 4: ein berühmter Grenzwert. \lim_{x \to 0}\frac{\sin(3x)}{x} = 3\lim_{x\to 0}\frac{\sin(3x)}{3x} = 3 \cdot 1 = 3.

Häufige Fehler

1. Falsches Vorzeichen beim Integral. \int\sin x\,dx ist -\cos x + C, nicht \cos x + C. Die Ableitung hat kein Minuszeichen, das Integral schon.
2. Gradmaß verwenden. \frac{d}{dx}\sin x = \cos x ist falsch, wenn x im Gradmaß angegeben ist. Stelle deinen Taschenrechner auf Bogenmaß (RAD).
3. \sin wie eine Multiplikation behandeln. \sin(2x) \ne 2\sin x und \sin(a + b) \ne \sin a + \sin b.
4. \sin^{-1}x mit \frac{1}{\sin x} verwechseln. \sin^{-1}x ist die Umkehrfunktion Arkussinus, während \frac{1}{\sin x} der Kosekans ist.

Wie der Sinus mit anderen Themen zusammenhängt

Sinus und Kosinus definieren den Rest der Familie: Der Tangens ist \frac{\sin x}{\cos x}, und Sekans, Kosekans und Kotangens sind Kehrwerte. Seine Umkehrfunktion auf \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right] ist der Arkussinus. In Analysis 2 taucht der Sinus bei der trigonometrischen Substitution auf und hat die Taylorreihe \sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \cdots. Mehr zum Ableiten aller Winkelfunktionen findest du im Leitfaden zu den Ableitungen der trigonometrischen Funktionen.