Função seno sen(x): gráfico, derivada, integral e propriedades

A função seno recebe um ângulo x, medido em radianos, e devolve a coordenada y do ponto correspondente a esse ângulo no círculo unitário. Ela gera a onda suave e periódica por trás do som, da luz, das marés e de tudo que oscila, e é um dos dois blocos fundamentais (junto com o cosseno) de todas as outras funções trigonométricas.

Definição de sen x

Comece no ponto (1, 0) do círculo unitário e percorra uma distância x no sentido anti-horário (horário se x for negativo). Você chega ao ponto (\cos x, \sin x). Assim,

Num triângulo retângulo isso coincide com a razão conhecida \sin\theta = \frac{\text{opposite}}{\text{hypotenuse}} (cateto oposto sobre hipotenusa), mas a versão do círculo unitário funciona para qualquer número real, incluindo ângulos negativos e ângulos maiores que 2\pi.

Gráfico de y = sen x

O gráfico passa pela origem, sobe até o máximo em x = \frac{\pi}{2}, volta a zero em x = \pi, chega ao mínimo em x = \frac{3\pi}{2} e completa um ciclo inteiro em x = 2\pi.

Valores notáveis do seno

Propriedades da função seno

• Domínio e imagem. Qualquer número real é permitido, e a saída sempre fica em [-1, 1].
• Período. \sin(x + 2\pi) = \sin x. De forma mais geral, A\sin(bx) tem amplitude |A| e período \frac{2\pi}{|b|}.
• Zeros. \sin x = 0 exatamente quando x = k\pi para algum inteiro k.
• Simetria ímpar. \sin(-x) = -\sin x, então o gráfico é simétrico em relação à origem.
• Identidade pitagórica. \sin^2 x + \cos^2 x = 1 para todo x.
• Relação de deslocamento. \sin x = \cos\left(x - \frac{\pi}{2}\right): a senoide é uma cossenoide deslocada \frac{\pi}{2} para a direita.

Derivada de sen x

Dá para ler isso no gráfico: o seno é mais inclinado (inclinação 1) em x = 0, onde \cos 0 = 1, e fica plano no pico x = \frac{\pi}{2}, onde \cos\frac{\pi}{2} = 0. A demonstração usa o limite \lim_{h \to 0}\frac{\sin h}{h} = 1, e é por isso que os radianos são obrigatórios. Derivando de novo obtemos \frac{d^2}{dx^2}\sin x = -\sin x, e as derivadas percorrem o ciclo \sin, \cos, -\sin, -\cos a cada quatro passos.

Com a regra da cadeia, \frac{d}{dx}\sin(u) = \cos(u)\cdot u'.

Integral de sen x

Confira derivando: \frac{d}{dx}(-\cos x) = -(-\sin x) = \sin x. Sob um arco a área é \int_0^{\pi}\sin x\,dx = -\cos\pi + \cos 0 = 2, e ao longo de um período completo a área com sinal é \int_0^{2\pi}\sin x\,dx = 0.

Exemplos resolvidos

Exemplo 1: regra da cadeia. Derive f(x) = \sin(x^2). A função de dentro é x^2, com derivada 2x, então f'(x) = 2x\cos(x^2).

Exemplo 2: regra do produto. Derive g(x) = x\sin x. Pela regra do produto, g'(x) = \sin x + x\cos x.

Exemplo 3: substituição. Calcule \int \sin(5x)\,dx. Tome u = 5x, então du = 5\,dx:

Exemplo 4: um limite famoso. \lim_{x \to 0}\frac{\sin(3x)}{x} = 3\lim_{x\to 0}\frac{\sin(3x)}{3x} = 3 \cdot 1 = 3.

Erros comuns

1. Sinal errado na integral. \int\sin x\,dx é -\cos x + C, e não \cos x + C. A derivada não tem sinal de menos; a integral tem.
2. Usar graus. \frac{d}{dx}\sin x = \cos x é falso se x estiver em graus. Coloque a calculadora em radianos.
3. Tratar \sin como multiplicação. \sin(2x) \ne 2\sin x e \sin(a + b) \ne \sin a + \sin b.
4. Confundir \sin^{-1}x com \frac{1}{\sin x}. \sin^{-1}x é a função inversa arco-seno, enquanto \frac{1}{\sin x} é a cossecante.

Como o seno se conecta a outros temas

Seno e cosseno definem o resto da família: a tangente é \frac{\sin x}{\cos x}, e secante, cossecante e cotangente são recíprocas. Sua inversa em \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right] é o arco-seno. No Cálculo 2, o seno aparece na substituição trigonométrica e tem a série de Taylor \sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \cdots. Para saber mais sobre como derivar cada função trigonométrica, leia o guia de derivadas das funções trigonométricas.