Criterio de series alternadas (Leibniz): condiciones, cota y ejemplos

El criterio de series alternadas se aplica a series cuyos términos cambian de signo, como 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \cdots. Si el tamaño de los términos disminuye de forma constante hasta cero, las sumas parciales zigzaguean cada vez más cerca de un límite y la serie converge.

El criterio

Supón que b_n > 0 para todo n. La serie

converge si se cumplen las dos condiciones:

1. b_{n+1} \le b_n para todo n (o para todo n a partir de cierto valor), y
2. \lim_{n\to\infty} b_n = 0.

Lo mismo vale para \sum (-1)^n b_n, que solo cambia todos los signos.

La cota del error

Si se cumplen las condiciones y S es la suma, la suma parcial S_N está a menos de un término del valor exacto:

Además, S está entre dos sumas parciales consecutivas cualesquiera. Este es el teorema de estimación de series alternadas, y hace que las series alternadas sean fáciles de aproximar.

Por qué funciona

Como los b_n decrecen, cada paso se pasa del límite menos que el anterior. Las sumas parciales pares S_2, S_4, S_6, \ldots crecen, las impares S_1, S_3, S_5, \ldots decrecen, y toda suma par queda por debajo de toda suma impar. Ambas sucesiones son acotadas y monótonas, así que convergen, y como S_{2k+1} - S_{2k} = b_{2k+1} \to 0, convergen al mismo límite.

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1: la serie armónica alternada. Para \sum \frac{(-1)^{n+1}}{n}, b_n = \frac{1}{n} es positiva, decreciente y tiende a 0. La serie converge (a \ln 2). Como \sum \frac{1}{n} diverge, la convergencia es condicional.

Ejemplo 2: falla la condición del límite. Para \sum (-1)^n \frac{n}{n+1}, b_n = \frac{n}{n+1} \to 1 \ne 0. El criterio de series alternadas no se aplica, y el criterio del término n-ésimo muestra que la serie diverge.

Ejemplo 3: comprobar que es decreciente con una derivada. Para \sum (-1)^{n+1}\frac{\ln n}{n} (empezando en n = 2), sea f(x) = \frac{\ln x}{x}. Entonces f'(x) = \frac{1 - \ln x}{x^2} < 0 para x > e, así que b_n decrece para n \ge 3, y \frac{\ln n}{n} \to 0. La serie converge.

Ejemplo 4: estimar una suma. La serie \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{n!} = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{6} - \frac{1}{24} + \cdots cumple el criterio. Con cuatro términos se obtiene

con un error de como máximo b_5 = \frac{1}{120} \approx 0.0083. La suma exacta es 1 - \frac{1}{e} \approx 0.6321, y el error real es de aproximadamente 0.0071.

Convergencia absoluta y condicional

El criterio demuestra la convergencia, pero no dice nada sobre la convergencia absoluta. Estudia \sum b_n por separado:

El criterio del cociente da L = 1 en los tres casos, así que no permite decidir ninguno.

Errores comunes

1. Usar el criterio para demostrar divergencia. Que no se cumpla la condición de ser decreciente no implica divergencia. Solo b_n \not\to 0 la implica, y eso es el criterio del término n-ésimo.
2. Incluir el signo en b_n. b_n es el tamaño positivo del término, sin el factor (-1)^n.
3. Saltarse la comprobación de que es decreciente. Suele cumplirse, pero hay que verificarlo, a veces con una derivada.
4. Decir que una serie es absolutamente convergente porque cumple este criterio.

Para comparar todos los criterios de convergencia y aprender a elegir uno, lee la guía completa de criterios de convergencia.