Criterio del cociente (D'Alembert) para series: fórmula y ejemplos

El criterio del cociente decide si una serie converge fijándose en lo rápido que disminuyen sus términos. Si a partir de cierto momento cada término es una fracción fija del anterior, la serie se comporta como una serie geométrica convergente.

El criterio del cociente

Sea \sum a_n una serie con términos distintos de cero (al menos para n grande), y sea

Si el límite no existe y no es \infty, el criterio tal como está enunciado no se aplica.

Por qué funciona

Si L < 1, elige un número r con L < r < 1. Para n grande, cada \lvert a_{n+1}\rvert es como mucho r\lvert a_n\rvert, así que la cola de \sum \lvert a_n\rvert está acotada por una serie geométrica de razón r, que converge. Si L > 1, los términos acaban creciendo en tamaño, así que no pueden tender a 0, y el criterio del término n-ésimo da la divergencia.

Cómo aplicarlo

1. Escribe a_{n+1} sustituyendo cada n de a_n por n + 1.
2. Forma \frac{a_{n+1}}{a_n} y simplifica. Invierte la fracción de abajo y multiplica.
3. Usa \frac{(n+1)!}{n!} = n + 1 y \frac{c^{n+1}}{c^n} = c para simplificar.
4. Calcula el límite del valor absoluto y compáralo con 1.

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1: una potencia por una exponencial. Para \sum \frac{n}{2^n}:

Como L = \frac{1}{2} < 1, la serie converge.

Ejemplo 2: un factorial. Para \sum \frac{3^n}{n!}:

L = 0 < 1, así que converge. (Su suma es e^3 - 1 si empieza en n = 1.)

Ejemplo 3: divergencia. Para \sum \frac{n!}{10^n}:

La serie diverge. El factorial acaba superando a cualquier exponencial.

Ejemplo 4: signos alternados. Para \sum \frac{(-2)^n}{n^2}, el valor absoluto elimina el signo:

L = 2 > 1, así que la serie diverge.

Ejemplo 5: no concluyente. Para \sum \frac{1}{n^2}, \frac{n^2}{(n+1)^2} \to 1. El criterio del cociente no da respuesta, aunque la serie converge por ser una serie p con p = 2.

Radio de convergencia

El criterio del cociente es la herramienta principal para las series de potencias. Para \sum \frac{x^n}{n}:

La serie converge cuando \lvert x\rvert < 1, así que el radio de convergencia es 1. Los extremos x = \pm 1 dan L = 1 y hay que estudiarlos por separado.

Criterio del cociente y criterio de la raíz

El criterio de la raíz usa L = \lim \sqrt[n]{\lvert a_n\rvert} con los mismos tres resultados posibles. Es más cómodo cuando todo el término está elevado a la n, como en \sum \left(\frac{2n}{3n+1}\right)^n, donde \sqrt[n]{a_n} = \frac{2n}{3n+1} \to \frac{2}{3}. El criterio del cociente es más cómodo cuando aparecen factoriales, porque los factoriales no tienen una raíz n-ésima sencilla pero se simplifican muy bien en un cociente. Cuando ambos se aplican, dan el mismo L.

Errores comunes

1. Usarlo con expresiones racionales o con raíces en n. Cualquier cosa como \frac{n^2+1}{n^4} da L = 1. Usa un criterio de comparación o el de las series p.
2. Interpretar L = 1 como convergencia o divergencia. Significa que el criterio no sirve.
3. Invertir el cociente. Es \frac{a_{n+1}}{a_n}, el término siguiente entre el actual. El cociente al revés invierte el significado del resultado.
4. Equivocarse con el álgebra de factoriales. (2(n+1))! = (2n+2)!, que es (2n+2)(2n+1)\cdot(2n)!, no 2(n+1)!.

Para ver cómo encaja el criterio del cociente con los criterios de la raíz, de comparación y de la integral, lee la guía completa de criterios de convergencia.