Fórmula de la serie geométrica: suma a/(1 − r), convergencia

Una serie geométrica suma términos que se obtienen cada uno del anterior multiplicando por el mismo número r. Es una de las pocas series infinitas cuya suma exacta se puede escribir, por eso es la referencia con la que se compara todo criterio de convergencia.

La fórmula de la serie geométrica

Con primer término a y razón r:

Si \lvert r\rvert \ge 1 y a \ne 0, la serie diverge.

La suma de los primeros N términos es finita para todo r \ne 1:

Por qué funciona la fórmula

Multiplica S_N por r y resta. Casi todos los términos se cancelan:

Cuando \lvert r\rvert < 1, r^N \to 0 cuando N \to \infty, así que S_N \to \frac{a}{1-r}. Cuando \lvert r\rvert \ge 1, r^N no tiende a cero y las sumas parciales no tienen límite finito.

Cómo usarla

1. Encuentra a: el primer término de la serie tal como está escrita. Sustituye el índice inicial.
2. Encuentra r: divide cualquier término entre el anterior.
3. Comprueba que \lvert r\rvert < 1. Si no se cumple, para: la serie diverge.
4. Calcula \frac{a}{1-r}.

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1: un clásico. 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \cdots tiene a = 1, r = \frac{1}{2}:

Ejemplo 2: el índice no empieza en 0. En \sum_{n=1}^{\infty} 3\left(\frac{2}{3}\right)^n el primer término es 3\cdot\frac{2}{3} = 2, no 3:

Ejemplo 3: una razón negativa. \sum_{n=0}^{\infty} \left(-\frac{1}{3}\right)^n tiene a = 1, r = -\frac{1}{3}:

Ejemplo 4: un decimal periódico. 0.272727\ldots = \frac{27}{100} + \frac{27}{10000} + \cdots tiene a = \frac{27}{100} y r = \frac{1}{100}:

Ejemplo 5: divergencia. \sum_{n=0}^{\infty} \left(\frac{5}{4}\right)^n tiene r = \frac{5}{4} > 1, así que diverge. Los términos crecen en lugar de disminuir.

Sumas finitas e infinitas

La fórmula finita funciona para cualquier razón excepto r = 1, así que incluso una serie con r = 3 tiene una suma de los diez primeros términos perfectamente válida: \sum_{n=0}^{9} 3^n = \frac{1 - 3^{10}}{1 - 3} = 29524. Solo la suma infinita necesita \lvert r\rvert < 1. Cuando r = 1 todos los términos valen a, así que los primeros N términos suman Na, y la serie infinita diverge.

Errores comunes

1. Usar el coeficiente en lugar del primer término. Cuando la suma empieza en n = 1 o después, calcula el primer término directamente.
2. Ignorar la condición. \frac{a}{1-r} con r = 2 da -a, un número sin sentido. Comprueba siempre primero que \lvert r\rvert < 1.
3. Confundir otras series con geométricas. \sum \frac{1}{n^2} y \sum \frac{1}{2n} no tienen razón constante, así que la fórmula no se aplica.
4. Perder un signo en r. En una serie geométrica alternada, r es negativa y 1 - r se convierte en 1 + \lvert r\rvert.

Hacia dónde lleva

Las series geométricas son el modelo del criterio del cociente, que se pregunta si una serie acaba comportándose como una geométrica con \lvert r\rvert < 1. También dan la primera serie de potencias, \frac{1}{1-x} = \sum x^n para \lvert x\rvert < 1, el punto de partida de las series de potencias. Para ver más ejemplos, lee la guía completa de series geométricas.