Teste da série alternada: condições, estimativa do erro e exemplos

O teste da série alternada, também conhecido como critério de Leibniz, trata das séries cujos termos trocam de sinal, como 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \cdots. Se os módulos dos termos diminuem sem parar até zero, as somas parciais oscilam em zigue-zague cada vez mais perto de um limite, e a série converge.

O teste

Suponha b_n > 0 para todo n. A série

converge se:

1. b_{n+1} \le b_n para todo n (ou para todo n a partir de algum ponto), e
2. \lim_{n\to\infty} b_n = 0.

O mesmo vale para \sum (-1)^n b_n, que apenas troca todos os sinais.

A estimativa do erro

Se as condições valem e S é a soma, a soma parcial S_N fica a no máximo um termo do valor verdadeiro:

Além disso, S fica entre quaisquer duas somas parciais consecutivas. Esse é o teorema da estimativa da série alternada, e ele torna as séries alternadas fáceis de aproximar.

Por que funciona

Como os b_n decrescem, cada passo ultrapassa o limite menos que o anterior. As somas parciais pares S_2, S_4, S_6, \ldots crescem, as ímpares S_1, S_3, S_5, \ldots decrescem, e toda soma par fica abaixo de toda soma ímpar. As duas sequências são limitadas e monótonas, então convergem, e como S_{2k+1} - S_{2k} = b_{2k+1} \to 0, convergem para o mesmo limite.

Exemplos resolvidos

Exemplo 1: a série harmônica alternada. Para \sum \frac{(-1)^{n+1}}{n}, b_n = \frac{1}{n} é positivo, decrescente e tende a 0. A série converge (para \ln 2). Como \sum \frac{1}{n} diverge, a convergência é condicional.

Exemplo 2: falhando na condição do limite. Para \sum (-1)^n \frac{n}{n+1}, b_n = \frac{n}{n+1} \to 1 \ne 0. O teste da série alternada não se aplica, e o teste do termo geral mostra que a série diverge.

Exemplo 3: verificando o decrescimento com uma derivada. Para \sum (-1)^{n+1}\frac{\ln n}{n} (começando em n = 2), seja f(x) = \frac{\ln x}{x}. Então f'(x) = \frac{1 - \ln x}{x^2} < 0 para x > e, logo b_n decresce para n \ge 3, e \frac{\ln n}{n} \to 0. A série converge.

Exemplo 4: estimando uma soma. A série \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{n!} = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{6} - \frac{1}{24} + \cdots satisfaz o teste. Quatro termos dão

com erro de no máximo b_5 = \frac{1}{120} \approx 0.0083. A soma verdadeira é 1 - \frac{1}{e} \approx 0.6321, e o erro real é de cerca de 0.0071.

Convergência absoluta e condicional

O teste prova a convergência, mas não diz nada sobre convergência absoluta. Verifique \sum b_n separadamente:

O teste da razão dá L = 1 para as três, então não decide nenhuma delas.

Erros comuns

1. Usar o teste para provar divergência. Falhar na condição de decrescimento não significa divergência. Só b_n \not\to 0 significa, e isso é o teste do termo geral.
2. Incluir o sinal em b_n. b_n é o módulo positivo do termo, sem o (-1)^n.
3. Pular a verificação do decrescimento. Normalmente ela vale, mas precisa ser verificada, às vezes com uma derivada.
4. Chamar uma série de absolutamente convergente só porque passou neste teste.

Para comparar todos os testes de convergência e saber qual escolher, leia o guia completo de testes de convergência.