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Ableitungsregeln

Summenregel und Differenzregel beim Ableiten: Formel und Beispiele

Die Summen- und Differenzregel: Summen und Differenzen werden gliedweise abgeleitet. Die Formel, Rechenbeispiele, ein Beweis und typische Fehler.

Ableitungsregeln Aktualisiert 2 Min. Lesezeit

Auf einen Blick

\frac{d}{dx}\,[f(x) \pm g(x)] = f'(x) \pm g'(x)
Anwendbar auf
Jede Summe oder Differenz differenzierbarer Funktionen, mit beliebig vielen Summanden
In Worten
Gliedweise ableiten und die Plus- und Minuszeichen beibehalten
Kombiniert mit
Der Faktorregel, was (af + bg)' = af' + bg' ergibt
Nicht anwendbar auf
Produkte und Quotienten, dafür brauchst du die Produkt- und Quotientenregel
Gegenstück beim Integrieren
\int [f(x) \pm g(x)]\,dx = \int f(x)\,dx \pm \int g(x)\,dx
Auf dieser Seite
  1. Die Formel der Summen- und Differenzregel
  2. Beispiele
  3. Warum die Summenregel gilt
  4. Was die Summenregel nicht abdeckt
  5. Häufige Fehler

Die Summen- und Differenzregel besagt, dass du eine Summe oder Differenz Summand für Summand ableiten darfst. Die Ableitung von f + g ist f' + g', und die Ableitung von f - g ist f' - g'. Diese Regel macht Polynome einfach.

Die Formel der Summen- und Differenzregel

Sind f und g differenzierbar, dann gilt

\frac{d}{dx}\,[f(x) + g(x)] = f'(x) + g'(x)
\frac{d}{dx}\,[f(x) - g(x)] = f'(x) - g'(x)

Die Regel gilt für beliebig viele Summanden. Zusammen mit der Faktorregel besagt sie, dass das Ableiten linear ist:

\frac{d}{dx}\,[a\,f(x) + b\,g(x)] = a\,f'(x) + b\,g'(x)

Beispiele

Beispiel 1: ein Polynom. Verwende auf jeden Summanden die Potenzregel und auf die Konstante die Konstantenregel:

\frac{d}{dx}\left(3x^2 - 5x + 8\right) = 6x - 5 + 0 = 6x - 5

Beispiel 2: verschiedene Funktionstypen. Jeder Summand verwendet seine eigene Regel:

\frac{d}{dx}\left(x^4 + \sin x - e^x\right) = 4x^3 + \cos x - e^x

Beispiel 3: eine Differenz mit einem Logarithmus.

\frac{d}{dx}\left(2\ln x - \sqrt{x}\right) = \frac{2}{x} - \frac{1}{2\sqrt{x}}

Beispiel 4: zuerst einen Bruch aufteilen. Besteht der Nenner aus einem einzigen Term, teilst du jeden Summanden des Zählers durch ihn und verwendest dann die Summenregel:

\frac{x^2 + 1}{x} = x + x^{-1} \quad\Rightarrow\quad \frac{d}{dx}\left(x + x^{-1}\right) = 1 - x^{-2} = 1 - \frac{1}{x^2}

So umgehst du die Quotientenregel komplett.

Graph von y = x³ − 3x und seiner Ableitung y = 3x² − 3
Gliedweises Ableiten liefert 3x^2 - 3. Das ist null bei x = \pm 1, genau dort, wo x^3 - 3x seine Extrempunkte hat.

Warum die Summenregel gilt

Zerlege in der Definition der Ableitung über den Grenzwert den Differenzenquotienten in zwei Differenzenquotienten:

\frac{[f(x+h) + g(x+h)] - [f(x) + g(x)]}{h} = \frac{f(x+h) - f(x)}{h} + \frac{g(x+h) - g(x)}{h}

Für h \to 0 macht die Summenregel für Grenzwerte (siehe die Grenzwertsätze) aus der rechten Seite f'(x) + g'(x). Die Differenzregel folgt mit demselben Argument und einem Minuszeichen.

Was die Summenregel nicht abdeckt

Die Summenregel ist so naheliegend, dass manche annehmen, Produkte und Quotienten verhielten sich genauso. Das tun sie nicht:

Ausdruck Richtige Regel Richtige Ableitung
x^2 + \sin x Summenregel 2x + \cos x
x^2 \sin x Produktregel 2x\sin x + x^2\cos x
\frac{x^2}{\sin x} Quotientenregel \frac{2x\sin x - x^2\cos x}{\sin^2 x}
\sin(x^2) Kettenregel 2x\cos(x^2)

Prüfe nach, dass die Ableitung von x^2 \sin x nicht 2x\cos x ist: Zum Beispiel ist bei x = \frac{\pi}{2} die richtige Ableitung \pi, während 2x\cos x den Wert 0 liefert.

Häufige Fehler

  1. Ein Minuszeichen verlieren. In \frac{d}{dx}(x^3 - \cos x) ist die Ableitung von \cos x gleich -\sin x, also lautet das Ergebnis 3x^2 + \sin x. Achte auf beide Vorzeichen.
  2. Die Regel auf Produkte übertragen. (fg)' \ne f'g'. Verwende die Produktregel.
  3. Einen Bruch mit einer Summe im Nenner aufteilen. \frac{1}{x + 1} \ne \frac{1}{x} + 1. Aufteilen darfst du nur, wenn der Nenner aus einem einzigen Term besteht.

Eine vollständige Sammlung von Beispielen zu Polynomen und zur Potenzregel findest du im vollständigen Leitfaden zur Potenzregel.

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Häufig gestellte Fragen

Was ist die Summenregel beim Ableiten?
Die Summenregel besagt \frac{d}{dx}[f(x) + g(x)] = f'(x) + g'(x). Du leitest jeden Summanden einzeln ab und addierst die Ergebnisse.

Gilt die Summenregel auch für mehr als zwei Summanden?
Ja. Wendest du sie wiederholt an, wird jeder Summand für sich abgeleitet. Deshalb lässt sich ein Polynom gliedweise ableiten.

Ist die Ableitung eines Produkts das Produkt der Ableitungen?
Nein. Zur Summenregel gibt es keine Version für Produkte. Die Ableitung von f(x)g(x) ist nach der Produktregel f'g + fg'.

Darf ich einen Bruch aufteilen, um die Summenregel zu verwenden?
Ja, wenn der Nenner aus einem einzigen Term besteht. Zum Beispiel ist \frac{x^3 + 2}{x} = x^2 + 2x^{-1}, und das ergibt abgeleitet 2x - 2x^{-2}.

Geschrieben vom PracticeCalculus-Team

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