Teorema de Fermat sobre extremos locales: enunciado y ejemplos

El teorema de Fermat (sobre extremos locales) dice que en la cima de una colina o en el fondo de un valle de una gráfica suave, la recta tangente es horizontal. Es el teorema que respalda el paso más habitual del cálculo: para hallar un máximo o un mínimo, iguala la derivada a cero.

Enunciado del teorema de Fermat

Supongamos que

1. f tiene un máximo local o un mínimo local en c, es decir, f(c) \ge f(x) (o f(c) \le f(x)) para todo x en algún intervalo abierto alrededor de c, y
2. f'(c) existe.

Entonces

Como la definición de extremo local usa un intervalo abierto alrededor de c, el punto c debe ser un punto interior del dominio, no un extremo del intervalo.

Qué significa el teorema de Fermat

En un máximo local, la función sube hasta c y baja después. Justo a la derecha de c, el cociente incremental \frac{f(c + h) - f(c)}{h} es \le 0, y justo a la izquierda es \ge 0. Si la derivada existe, los dos límites laterales son el mismo número, y el único número que es a la vez \le 0 y \ge 0 es 0.

Por qué importa cada hipótesis, y por qué falla el recíproco

La derivada debe existir. f(x) = |x| tiene un mínimo en x = 0, pero f'(0) no existe por el pico. El teorema de Fermat no dice nada ahí. Por eso los puntos críticos incluyen los puntos donde f' no está definida.

El punto debe ser interior. En [0, 1], f(x) = x tiene su máximo en el extremo x = 1, y sin embargo f'(1) = 1 \ne 0. Los extremos alcanzados en los bordes del intervalo no están cubiertos por el teorema, así que el método del intervalo cerrado los comprueba aparte.

El recíproco es falso. f(x) = x^3 tiene f'(0) = 0, pero x^3 es negativa a la izquierda de 0 y positiva a la derecha, así que 0 no es un extremo local. Una tangente horizontal convierte a c en un candidato, nada más. Sigues necesitando el criterio de la primera o de la segunda derivada.

Puntos críticos

El teorema de Fermat justifica esta definición: un punto crítico de f es un número c de su dominio donde f'(c) = 0 o f'(c) no existe. Dicho de otro modo, todo extremo local de f se da en un punto crítico.

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1: f(x) = x^4 - 4x^3.

Paso 1. f'(x) = 4x^3 - 12x^2 = 4x^2(x - 3).

Paso 2. Puntos críticos: x = 0 y x = 3. Por el teorema de Fermat, son los únicos extremos locales posibles.

Paso 3. Clasifica. f'(x) < 0 para x < 0 y para 0 < x < 3, y f'(x) > 0 para x > 3. La función decrece al pasar por x = 0, así que x = 0 no es un extremo, igual que en x^3. En x = 3 pasa de decrecer a crecer, así que f(3) = 81 - 108 = -27 es un mínimo local.

Ejemplo 2: un punto crítico donde f' no existe. Para f(x) = x^{2/3},

que nunca vale 0 y no está definida en x = 0. Así que x = 0 es el único punto crítico, y como f(x) \ge 0 = f(0) para todo x, es un mínimo. Resolver solo f'(x) = 0 lo pasaría por alto.

Ejemplo 3: optimización. Dos números suman 10. Maximiza su producto P(x) = x(10 - x). Como el máximo está en un punto interior y P es derivable, el teorema de Fermat dice que P'(x) = 10 - 2x = 0, así que x = 5 y el producto máximo es 25. Consulta problemas de optimización para ver más.

Errores comunes

1. Suponer que f'(c) = 0 implica un extremo. Clasifica siempre los puntos críticos con una tabla de signos o con la segunda derivada.
2. Ignorar los puntos donde f' no está definida. Los picos y las cúspides también son puntos críticos.
3. Olvidar los extremos del intervalo. En un intervalo cerrado, los extremos absolutos pueden estar en los bordes, donde el teorema de Fermat no se aplica.

Teoremas relacionados

El teorema de Fermat se combina con el Teorema del Valor Extremo para dar el método del intervalo cerrado, y es el paso clave para demostrar el teorema de Rolle y, después, el Teorema del Valor Medio. Para clasificar puntos críticos y trazar gráficas, lee trazado de curvas con derivadas.