Satz von Fermat über lokale Extrema: Aussage und Beispiele

Der Satz von Fermat (über lokale Extrema) besagt, dass auf der Spitze eines Hügels oder am Boden eines Tals eines glatten Graphen die Tangente waagerecht ist. Er steckt hinter dem häufigsten Schritt der Analysis: Um ein Maximum oder Minimum zu finden, setzt man die Ableitung gleich null.

Aussage des Satzes von Fermat

Angenommen,

1. f hat in c ein lokales Maximum oder lokales Minimum, das heißt f(c) \ge f(x) (bzw. f(c) \le f(x)) für alle x in einem offenen Intervall um c, und
2. f'(c) existiert.

Dann gilt

Da die Definition eines lokalen Extremums ein offenes Intervall um c verwendet, muss c ein innerer Punkt des Definitionsbereichs sein und kein Randpunkt.

Was der Satz von Fermat bedeutet

An einem lokalen Maximum steigt die Funktion bis c an und fällt danach. Direkt rechts von c ist der Differenzenquotient \frac{f(c + h) - f(c)}{h} stets \le 0, direkt links davon ist er stets \ge 0. Existiert die Ableitung, sind beide einseitigen Grenzwerte dieselbe Zahl, und die einzige Zahl, die zugleich \le 0 und \ge 0 ist, ist 0.

Warum jede Voraussetzung wichtig ist und warum die Umkehrung nicht gilt

Die Ableitung muss existieren. f(x) = |x| hat bei x = 0 ein Minimum, aber f'(0) existiert wegen des Knicks nicht. Der Satz von Fermat sagt dort nichts aus. Deshalb zählen auch Stellen, an denen f' nicht definiert ist, zu den kritischen Punkten.

Der Punkt muss im Inneren liegen. Auf [0, 1] hat f(x) = x sein Maximum am Randpunkt x = 1, und doch ist f'(1) = 1 \ne 0. Randextrema deckt der Satz nicht ab, deshalb prüft die Methode für abgeschlossene Intervalle die Randpunkte gesondert.

Die Umkehrung ist falsch. f(x) = x^3 hat f'(0) = 0, aber x^3 ist links von 0 negativ und rechts davon positiv, also ist 0 kein lokales Extremum. Eine waagerechte Tangente macht c zu einem Kandidaten, mehr nicht. Du brauchst trotzdem noch das Vorzeichenwechselkriterium oder die zweite Ableitung.

Kritische Punkte

Der Satz von Fermat rechtfertigt diese Definition: Ein kritischer Punkt von f ist eine Zahl c im Definitionsbereich, an der f'(c) = 0 gilt oder f'(c) nicht existiert. Anders gesagt: Jedes lokale Extremum von f liegt an einem kritischen Punkt.

Rechenbeispiele

Beispiel 1: f(x) = x^4 - 4x^3.

Schritt 1. f'(x) = 4x^3 - 12x^2 = 4x^2(x - 3).

Schritt 2. Kritische Punkte: x = 0 und x = 3. Nach dem Satz von Fermat sind das die einzig möglichen lokalen Extrema.

Schritt 3. Einordnen. Es gilt f'(x) < 0 für x < 0 und für 0 < x < 3, und f'(x) > 0 für x > 3. Die Funktion fällt durch x = 0 hindurch, also ist x = 0 kein Extremum, genau wie bei x^3. Bei x = 3 wechselt sie von fallend zu steigend, also ist f(3) = 81 - 108 = -27 ein lokales Minimum.

Beispiel 2: ein kritischer Punkt, an dem f' nicht existiert. Für f(x) = x^{2/3} gilt

Das ist nie 0 und bei x = 0 nicht definiert. Also ist x = 0 der einzige kritische Punkt, und da f(x) \ge 0 = f(0) für alle x gilt, ist er ein Minimum. Nur f'(x) = 0 zu setzen, würde ihn übersehen.

Beispiel 3: Extremwertaufgabe. Zwei Zahlen haben die Summe 10. Maximiere ihr Produkt P(x) = x(10 - x). Da das Maximum an einem inneren Punkt liegt und P differenzierbar ist, liefert der Satz von Fermat P'(x) = 10 - 2x = 0, also x = 5, und das maximale Produkt ist 25. Mehr dazu unter Extremwertaufgaben.

Häufige Fehler

1. Annehmen, dass f'(c) = 0 ein Extremum bedeutet. Ordne kritische Punkte immer mit einer Vorzeichentabelle oder der zweiten Ableitung ein.
2. Stellen ignorieren, an denen f' nicht definiert ist. Knicke und Spitzen sind ebenfalls kritische Punkte.
3. Randpunkte vergessen. Auf einem abgeschlossenen Intervall können die globalen Extrema an den Randpunkten liegen, wo der Satz von Fermat nicht gilt.

Verwandte Sätze

Zusammen mit dem Satz vom Maximum und Minimum ergibt der Satz von Fermat die Methode für abgeschlossene Intervalle, und er ist der entscheidende Schritt beim Beweis des Satzes von Rolle und damit des Mittelwertsatzes. Zum Einordnen kritischer Punkte und Skizzieren von Graphen lies Kurvendiskussion mit Ableitungen.