Teorema de Rolle: enunciado, hipótesis y ejemplos resueltos

El teorema de Rolle dice que si una función suave empieza y termina a la misma altura, entonces en algún punto intermedio su gráfica tiene una recta tangente horizontal. Es el más sencillo de los teoremas del valor medio y el paso que se usa para demostrar los demás.

Enunciado del teorema de Rolle

Sea f una función que cumple las tres hipótesis:

1. f es continua en el intervalo cerrado [a, b];
2. f es derivable en el intervalo abierto (a, b);
3. f(a) = f(b).

Entonces existe al menos un número c en (a, b) tal que

Qué significa el teorema de Rolle

Lanza una pelota hacia arriba y atrápala a la misma altura. En algún momento entre el lanzamiento y la atrapada, su velocidad vertical fue exactamente cero: en lo más alto del arco. El teorema de Rolle es esa observación para cualquier función suave. Si la gráfica sube, tiene que dar la vuelta para volver a bajar, y en el punto de giro la pendiente es cero. Si la función es constante, la pendiente es cero en todas partes.

Por qué importa cada hipótesis

Derivabilidad. f(x) = |x| en [-1, 1] es continua y f(-1) = f(1) = 1, pero la gráfica es una V con un pico. Su derivada vale -1 a la izquierda y 1 a la derecha, y nunca 0. El pico en x = 0, donde f no es derivable, es lo que hace fallar el teorema.

Continuidad en los extremos. Sea f(x) = x para 0 \le x < 1 y f(1) = 0. Entonces f(0) = f(1) = 0 y f es derivable en (0, 1), pero f'(x) = 1 en todo el interior. El salto en x = 1 rompe la continuidad en [a, b].

Valores iguales en los extremos. f(x) = x en [0, 1] es perfectamente suave, pero f(0) \ne f(1) y f'(x) = 1 nunca es cero. Con extremos distintos necesitas el teorema del valor medio.

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1: halla el c para f(x) = x^2 - 4x + 3 en [1, 3].

Paso 1. Comprueba las hipótesis. f es un polinomio, así que es continua y derivable en todas partes. f(1) = 1 - 4 + 3 = 0 y f(3) = 9 - 12 + 3 = 0, así que f(1) = f(3).

Paso 2. Resuelve f'(c) = 2c - 4 = 0, lo que da c = 2, que está en (1, 3). El vértice de la parábola es el punto garantizado.

Ejemplo 2: f(x) = x^3 - 4x en [-2, 2].

f(-2) = -8 + 8 = 0 y f(2) = 8 - 8 = 0, y f es un polinomio. Resuelve

Ambos valores están en (-2, 2), así que esta función tiene dos puntos donde se cumple la conclusión de Rolle. El teorema prometía al menos uno.

Ejemplo 3: demuestra que x^3 + x - 1 = 0 tiene exactamente una solución real.

Paso 1 (al menos una). f(x) = x^3 + x - 1 es continua, f(0) = -1 < 0 y f(1) = 1 > 0. Por el teorema del valor intermedio hay una raíz en (0, 1).

Paso 2 (como máximo una). Supón que hubiera dos raíces r_1 < r_2. Entonces f(r_1) = f(r_2) = 0, y el teorema de Rolle daría un c entre ellas con f'(c) = 0. Pero f'(x) = 3x^2 + 1 \ge 1 para todo x, así que f' nunca se anula. Esa contradicción significa que no puede haber dos raíces.

Por tanto, la ecuación tiene exactamente una solución real. Este argumento de TVI más Rolle es el uso del teorema que más aparece en los exámenes.

Cómo se demuestra el teorema de Rolle

Por el teorema del valor extremo, f tiene un máximo y un mínimo en [a, b]. Si ambos se alcanzan en los extremos, entonces, como f(a) = f(b), la función es constante y f' = 0 en todas partes. Si no, uno de ellos se alcanza en un punto interior c, y el teorema de Fermat da f'(c) = 0.

Errores comunes

1. No comprobar las hipótesis. En los exámenes se pregunta a menudo si el teorema de Rolle se aplica. Comprueba explícitamente la continuidad, la derivabilidad y que f(a) = f(b).
2. Dar un c fuera de (a, b). Una solución de f'(c) = 0 fuera del intervalo abierto no cuenta.
3. Creer que el teorema encuentra todos los puntos críticos. Solo garantiza al menos uno entre a y b.

Teoremas relacionados

Inclina el dibujo para que los extremos queden a alturas distintas y obtienes el teorema del valor medio. Para un tratamiento completo con aplicaciones, lee la guía del teorema del valor medio, y consulta cómo trazar curvas con derivadas para ver dónde importan las tangentes horizontales.