Teorema del Valor Extremo: enunciado, contraejemplos y ejemplos

El Teorema del Valor Extremo (TVE), también conocido como teorema de Weierstrass, garantiza que una función continua en un intervalo cerrado tiene un punto más alto y un punto más bajo. Es la razón por la que los problemas de optimización en un intervalo cerrado siempre tienen respuesta, y te dice exactamente dónde buscarla.

Enunciado del Teorema del Valor Extremo

Si f es continua en el intervalo cerrado y acotado [a, b], entonces existen números c y d en [a, b] tales que

Así, f(c) es el mínimo absoluto de f en [a, b] y f(d) es el máximo absoluto. Los puntos c y d pueden ser extremos del intervalo o puntos interiores, y puede haber más de uno de cada tipo.

Qué significa el TVE

Una gráfica continua sobre un intervalo cerrado es un trozo de curva sin cortes que incluye sus dos extremos. Un trozo así no puede escaparse al infinito, ni puede acercarse poco a poco a una altura sin alcanzarla, así que tiene un punto más alto y uno más bajo.

Por qué importa cada hipótesis

El intervalo debe ser cerrado. f(x) = x en el intervalo abierto (0, 1) es continua, pero no tiene máximo: para cualquier valor que elijas, un x un poco mayor da un resultado mayor. El supuesto máximo 1 estaría en el extremo excluido.

El intervalo debe ser acotado. f(x) = x en [0, \infty) tiene un mínimo en 0 pero no tiene máximo, porque crece sin parar.

La función debe ser continua. Define f(x) = x para 0 \le x < 1 y f(1) = 0. En [0, 1] los valores se acercan cada vez más a 1 pero nunca lo alcanzan, así que no hay máximo. La culpa es del salto en x = 1. Una asíntota vertical, como en \frac{1}{x} en [-1, 1] con f(0) definida como 0, también hace desaparecer el máximo y el mínimo.

Estas condiciones son suficientes, no necesarias. Algunas funciones discontinuas tienen igualmente valores extremos. El TVE solo los garantiza cuando se cumplen las hipótesis.

El método del intervalo cerrado

El TVE dice que los extremos existen. El teorema de Fermat dice que un extremo interior debe estar en un punto crítico. Juntos dan una receta completa:

1. Comprueba que f es continua en [a, b].
2. Halla los puntos críticos de f en (a, b): donde f'(x) = 0 o donde f'(x) no existe.
3. Evalúa f en cada punto crítico y en a y b.
4. El valor más grande es el máximo absoluto y el más pequeño, el mínimo absoluto.

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1: f(x) = x^3 - 3x en [0, 2.5].

Paso 1. f es un polinomio, así que es continua y el TVE se aplica.

Paso 2. f'(x) = 3x^2 - 3 = 3(x - 1)(x + 1), que se anula en x = \pm 1. Solo x = 1 está en (0, 2.5).

Paso 3. Evalúa: f(0) = 0, f(1) = 1 - 3 = -2 y f(2.5) = 15.625 - 7.5 = 8.125.

Paso 4. El mínimo absoluto es -2 en x = 1 y el máximo absoluto es 8.125 en x = 2.5. Observa que el máximo está en un extremo del intervalo, donde f' no es cero. Por eso siempre hay que comprobar los extremos.

Ejemplo 2: f(x) = x - 2\sin x en [0, \pi].

f'(x) = 1 - 2\cos x = 0 da \cos x = \frac{1}{2}, así que x = \frac{\pi}{3} en (0, \pi). Entonces

El mínimo absoluto es \frac{\pi}{3} - \sqrt{3} en x = \frac{\pi}{3} y el máximo absoluto es \pi en x = \pi.

Ejemplo 3: cuando el TVE no se aplica. ¿Tiene f(x) = \frac{1}{x} un máximo en (0, 2]? El intervalo no es cerrado, así que el TVE no promete nada. De hecho, f(x) \to \infty cuando x \to 0^+, así que no hay máximo. Sí hay mínimo, f(2) = \frac{1}{2}, lo que muestra que la conclusión del TVE todavía puede cumplirse en parte.

Errores comunes

1. Olvidar los extremos del intervalo. Resolver f'(x) = 0 solo encuentra candidatos interiores. La respuesta suele estar en a o en b.
2. Usar puntos críticos fuera del intervalo. En el ejemplo 1, x = -1 es un punto crítico pero no está en [0, 2.5], así que se descarta.
3. Aplicar el TVE en intervalos abiertos o infinitos. En esos casos, estudia los límites en los bordes, como en los problemas de optimización.

Teoremas relacionados

El TVE se usa para demostrar el teorema de Rolle y, a partir de él, el Teorema del Valor Medio. Comparte la hipótesis de continuidad con el Teorema del Valor Intermedio. Para trazar gráficas y clasificar extremos, consulta trazado de curvas con derivadas.