Teorema de Fermat para extremos locais: enunciado e exemplos

O teorema de Fermat (sobre extremos locais) diz que, no alto de um morro ou no fundo de um vale de um gráfico suave, a reta tangente é horizontal. É o teorema por trás do movimento mais comum do cálculo: para encontrar um máximo ou mínimo, iguale a derivada a zero.

Enunciado do teorema de Fermat

Suponha que

1. f tenha um máximo local ou mínimo local em c, ou seja, f(c) \ge f(x) (ou f(c) \le f(x)) para todo x em algum intervalo aberto em torno de c, e
2. f'(c) exista.

Então

Como a definição de extremo local usa um intervalo aberto em torno de c, o ponto c precisa ser um ponto interior do domínio, e não uma extremidade.

O que o teorema de Fermat significa

Em um máximo local, a função sobe até c e desce depois dele. Logo à direita de c, o quociente de diferenças \frac{f(c + h) - f(c)}{h} é \le 0, e logo à esquerda ele é \ge 0. Se a derivada existe, os dois limites laterais são o mesmo número, e o único número que é ao mesmo tempo \le 0 e \ge 0 é 0.

Por que cada hipótese importa, e por que a recíproca falha

A derivada precisa existir. f(x) = |x| tem um mínimo em x = 0, mas f'(0) não existe por causa do bico. O teorema de Fermat não diz nada ali. É por isso que os pontos críticos incluem os pontos onde f' não está definida.

O ponto precisa ser interior. Em [0, 1], f(x) = x tem seu máximo na extremidade x = 1, e mesmo assim f'(1) = 1 \ne 0. Extremos nas extremidades não são cobertos pelo teorema, por isso o método do intervalo fechado verifica as extremidades separadamente.

A recíproca é falsa. f(x) = x^3 tem f'(0) = 0, mas x^3 é negativa à esquerda de 0 e positiva à direita, então 0 não é um extremo local. Uma tangente horizontal torna c um candidato, nada mais. Você ainda precisa do teste da primeira ou da segunda derivada.

Pontos críticos

O teorema de Fermat justifica esta definição: um ponto crítico de f é um número c do seu domínio em que f'(c) = 0 ou f'(c) não existe. Em outras palavras, todo extremo local de f ocorre em um ponto crítico.

Exemplos resolvidos

Exemplo 1: f(x) = x^4 - 4x^3.

Passo 1. f'(x) = 4x^3 - 12x^2 = 4x^2(x - 3).

Passo 2. Pontos críticos: x = 0 e x = 3. Pelo teorema de Fermat, esses são os únicos extremos locais possíveis.

Passo 3. Classifique. f'(x) < 0 para x < 0 e para 0 < x < 3, e f'(x) > 0 para x > 3. A função continua decrescendo ao passar por x = 0, então x = 0 não é um extremo, exatamente como em x^3. Em x = 3 ela passa de decrescente para crescente, então f(3) = 81 - 108 = -27 é um mínimo local.

Exemplo 2: um ponto crítico onde f' não existe. Para f(x) = x^{2/3},

que nunca vale 0 e não está definida em x = 0. Então x = 0 é o único ponto crítico e, como f(x) \ge 0 = f(0) para todo x, é um mínimo. Resolver apenas f'(x) = 0 deixaria esse ponto de fora.

Exemplo 3: otimização. Dois números somam 10. Maximize o produto P(x) = x(10 - x). Como o máximo está em um ponto interior e P é derivável, o teorema de Fermat diz que P'(x) = 10 - 2x = 0, então x = 5 e o produto máximo é 25. Veja problemas de otimização para mais exemplos.

Erros comuns

1. Supor que f'(c) = 0 significa um extremo. Sempre classifique os pontos críticos com um quadro de sinais ou com a segunda derivada.
2. Ignorar pontos onde f' não está definida. Bicos e cúspides também são pontos críticos.
3. Esquecer as extremidades. Em um intervalo fechado, os extremos absolutos podem estar nas extremidades, onde o teorema de Fermat não se aplica.

Teoremas relacionados

O teorema de Fermat se junta ao Teorema do Valor Extremo para formar o método do intervalo fechado, e é o passo principal na demonstração do teorema de Rolle e, em seguida, do Teorema do Valor Médio. Para classificar pontos críticos e esboçar gráficos, leia esboço de gráficos com derivadas.