Satz von Rolle: Aussage, Voraussetzungen und Rechenbeispiele

Der Satz von Rolle besagt: Beginnt und endet eine glatte Funktion auf derselben Höhe, dann hat ihr Graph irgendwo dazwischen eine waagerechte Tangente. Er ist der einfachste der Mittelwertsätze und der Schritt, mit dem die anderen bewiesen werden.

Aussage des Satzes von Rolle

Sei f eine Funktion, die alle drei Voraussetzungen erfüllt:

1. f ist stetig auf dem abgeschlossenen Intervall [a, b];
2. f ist differenzierbar auf dem offenen Intervall (a, b);
3. f(a) = f(b).

Dann gibt es mindestens eine Zahl c in (a, b) mit

Was der Satz von Rolle bedeutet

Wirf einen Ball nach oben und fang ihn auf derselben Höhe wieder. Irgendwann zwischen Wurf und Fang war seine vertikale Geschwindigkeit genau null: am höchsten Punkt der Flugbahn. Der Satz von Rolle ist diese Beobachtung für jede glatte Funktion. Steigt der Graph an, muss er umkehren, um wieder herunterzukommen, und am Umkehrpunkt ist die Steigung null. Ist die Funktion konstant, ist die Steigung überall null.

Warum jede Voraussetzung wichtig ist

Differenzierbarkeit. f(x) = |x| auf [-1, 1] ist stetig und f(-1) = f(1) = 1, aber der Graph ist ein spitzes V. Seine Ableitung ist links -1 und rechts 1 und nie 0. Der Knick bei x = 0, wo f nicht differenzierbar ist, bringt den Satz zu Fall.

Stetigkeit an den Randpunkten. Sei f(x) = x für 0 \le x < 1 und f(1) = 0. Dann ist f(0) = f(1) = 0 und f ist auf (0, 1) differenzierbar, aber im Inneren gilt überall f'(x) = 1. Der Sprung bei x = 1 verletzt die Stetigkeit auf [a, b].

Gleiche Randwerte. f(x) = x auf [0, 1] ist völlig glatt, aber f(0) \ne f(1) und f'(x) = 1 ist nie null. Bei ungleichen Randwerten brauchst du stattdessen den Mittelwertsatz.

Rechenbeispiele

Beispiel 1: Bestimme das c für f(x) = x^2 - 4x + 3 auf [1, 3].

Schritt 1. Prüfe die Voraussetzungen. f ist ein Polynom, also überall stetig und differenzierbar. f(1) = 1 - 4 + 3 = 0 und f(3) = 9 - 12 + 3 = 0, also f(1) = f(3).

Schritt 2. Löse f'(c) = 2c - 4 = 0. Das ergibt c = 2, und das liegt in (1, 3). Der Scheitelpunkt der Parabel ist der garantierte Punkt.

Beispiel 2: f(x) = x^3 - 4x auf [-2, 2].

f(-2) = -8 + 8 = 0 und f(2) = 8 - 8 = 0, und f ist ein Polynom. Löse

Beide Werte liegen in (-2, 2), also hat diese Funktion zwei Stellen, an denen die Aussage des Satzes von Rolle gilt. Versprochen hat der Satz mindestens eine.

Beispiel 3: Zeige, dass x^3 + x - 1 = 0 genau eine reelle Lösung hat.

Schritt 1 (mindestens eine). f(x) = x^3 + x - 1 ist stetig, f(0) = -1 < 0 und f(1) = 1 > 0. Nach dem Zwischenwertsatz gibt es eine Nullstelle in (0, 1).

Schritt 2 (höchstens eine). Angenommen, es gäbe zwei Nullstellen r_1 < r_2. Dann wäre f(r_1) = f(r_2) = 0, und der Satz von Rolle lieferte ein c dazwischen mit f'(c) = 0. Aber f'(x) = 3x^2 + 1 \ge 1 für jedes x, also ist f' nie null. Dieser Widerspruch zeigt, dass es keine zwei Nullstellen geben kann.

Die Gleichung hat also genau eine reelle Lösung. Dieses Argument aus Zwischenwertsatz und Satz von Rolle ist die häufigste Anwendung des Satzes in Klausuren.

Wie man den Satz von Rolle beweist

Nach dem Satz vom Maximum und Minimum hat f auf [a, b] ein Maximum und ein Minimum. Liegen beide an den Randpunkten, ist die Funktion wegen f(a) = f(b) konstant und überall gilt f' = 0. Andernfalls liegt eines davon an einer inneren Stelle c, und der Satz von Fermat liefert f'(c) = 0.

Häufige Fehler

1. Die Voraussetzungen nicht prüfen. In Klausuren wird oft gefragt, ob der Satz von Rolle anwendbar ist. Prüfe Stetigkeit, Differenzierbarkeit und f(a) = f(b) ausdrücklich.
2. Ein c außerhalb von (a, b) angeben. Eine Lösung von f'(c) = 0 außerhalb des offenen Intervalls zählt nicht.
3. Glauben, der Satz finde jeden kritischen Punkt. Er garantiert nur mindestens einen zwischen a und b.

Verwandte Sätze

Kippst du das Bild, sodass die Randpunkte auf verschiedenen Höhen liegen, erhältst du den Mittelwertsatz. Eine ausführliche Behandlung mit Anwendungen findest du im Leitfaden zum Mittelwertsatz, und unter Kurvendiskussion mit Ableitungen siehst du, wo waagerechte Tangenten eine Rolle spielen.