Théorème de Rolle : énoncé, hypothèses et exemples corrigés

Le théorème de Rolle affirme que si une fonction régulière commence et finit à la même hauteur, alors quelque part entre les deux sa courbe admet une tangente horizontale. C'est le plus simple des théorèmes de type « accroissements finis », et l'étape qui sert à démontrer les autres.

Énoncé du théorème de Rolle

Soit f une fonction vérifiant les trois hypothèses :

1. f est continue sur l'intervalle fermé [a, b] ;
2. f est dérivable sur l'intervalle ouvert (a, b) ;
3. f(a) = f(b).

Alors il existe au moins un nombre c dans (a, b) tel que

Ce que signifie le théorème de Rolle

Lancez une balle vers le haut et rattrapez-la à la même hauteur. À un moment entre le lancer et la réception, sa vitesse verticale a été exactement nulle : au sommet de la trajectoire. Le théorème de Rolle traduit cette observation pour toute fonction régulière. Si la courbe monte, elle doit faire demi-tour pour redescendre, et au point de retournement la pente est nulle. Si la fonction est constante, la pente est nulle partout.

Pourquoi chaque hypothèse compte

Dérivabilité. f(x) = |x| sur [-1, 1] est continue et f(-1) = f(1) = 1, mais sa courbe est un V pointu. Sa dérivée vaut -1 à gauche et 1 à droite, et ne vaut jamais 0. C'est le point anguleux en x = 0, où f n'est pas dérivable, qui met le théorème en défaut.

Continuité aux extrémités. Soit f(x) = x pour 0 \le x < 1 et f(1) = 0. Alors f(0) = f(1) = 0 et f est dérivable sur (0, 1), mais f'(x) = 1 partout à l'intérieur. Le saut en x = 1 rompt la continuité sur [a, b].

Valeurs égales aux extrémités. f(x) = x sur [0, 1] est parfaitement régulière, mais f(0) \ne f(1) et f'(x) = 1 ne s'annule jamais. Lorsque les valeurs aux extrémités diffèrent, il faut utiliser le théorème des accroissements finis.

Exemples corrigés

Exemple 1 : trouver le c pour f(x) = x^2 - 4x + 3 sur [1, 3].

Étape 1. Vérifier les hypothèses. f est un polynôme, donc elle est continue et dérivable partout. f(1) = 1 - 4 + 3 = 0 et f(3) = 9 - 12 + 3 = 0, donc f(1) = f(3).

Étape 2. On résout f'(c) = 2c - 4 = 0, ce qui donne c = 2, qui appartient à (1, 3). Le sommet de la parabole est le point garanti.

Exemple 2 : f(x) = x^3 - 4x sur [-2, 2].

f(-2) = -8 + 8 = 0 et f(2) = 8 - 8 = 0, et f est un polynôme. On résout

Les deux valeurs appartiennent à (-2, 2) : cette fonction a donc deux points où la conclusion du théorème de Rolle est vérifiée. Le théorème en promettait au moins un.

Exemple 3 : montrer que x^3 + x - 1 = 0 admet exactement une solution réelle.

Étape 1 (au moins une). f(x) = x^3 + x - 1 est continue, f(0) = -1 < 0 et f(1) = 1 > 0. D'après le théorème des valeurs intermédiaires, il existe une racine dans (0, 1).

Étape 2 (au plus une). Supposons qu'il existe deux racines r_1 < r_2. Alors f(r_1) = f(r_2) = 0, et le théorème de Rolle fournirait un c entre elles tel que f'(c) = 0. Or f'(x) = 3x^2 + 1 \ge 1 pour tout x, donc f' ne s'annule jamais. Cette contradiction montre qu'il ne peut pas y avoir deux racines.

L'équation admet donc exactement une solution réelle. Ce raisonnement « TVI plus Rolle » est l'usage le plus fréquent du théorème en examen.

Démonstration du théorème de Rolle

D'après le théorème des bornes atteintes, f admet un maximum et un minimum sur [a, b]. S'ils sont tous deux atteints aux extrémités, alors, comme f(a) = f(b), la fonction est constante et f' = 0 partout. Sinon, l'un d'eux est atteint en un point intérieur c, et le théorème de Fermat donne f'(c) = 0.

Erreurs fréquentes

1. Ne pas vérifier les hypothèses. Les examens demandent souvent si le théorème de Rolle s'applique. Vérifiez explicitement la continuité, la dérivabilité et l'égalité f(a) = f(b).
2. Donner un c hors de (a, b). Une solution de f'(c) = 0 hors de l'intervalle ouvert ne compte pas.
3. Croire que le théorème trouve tous les points critiques. Il garantit seulement au moins un point critique entre a et b.

Théorèmes liés

Inclinez la figure pour que les extrémités soient à des hauteurs différentes et vous obtenez le théorème des accroissements finis. Pour une présentation complète avec des applications, lisez le guide du théorème des accroissements finis, et consultez l'étude de fonctions à l'aide des dérivées pour voir où les tangentes horizontales interviennent.