Teorema del Valor Intermedio (TVI): enunciado y ejemplos

El teorema del valor intermedio (TVI) dice que una función continua no puede saltarse valores. Si empieza a una altura y termina a otra, tiene que pasar por todas las alturas intermedias. Es la herramienta estándar para demostrar que una ecuación tiene solución sin necesidad de resolverla.

Enunciado del teorema del valor intermedio

Supongamos que

1. f es continua en el intervalo cerrado [a, b], y
2. N es cualquier número estrictamente entre f(a) y f(b).

Entonces existe al menos un número c en el intervalo abierto (a, b) tal que

El caso particular más habitual trata sobre raíces: si f es continua en [a, b] y f(a) y f(b) tienen signos opuestos, entonces f(c) = 0 para algún c en (a, b). Esta versión se conoce a menudo como teorema de Bolzano.

Qué significa el TVI

Dibuja una curva continua desde el punto (a, f(a)) hasta el punto (b, f(b)) sin levantar el lápiz. Cualquier recta horizontal y = N situada entre las dos alturas tiene que ser atravesada. El TVI es la versión precisa de ese dibujo.

Fíjate en lo que el teorema no dice. No dice dónde está c, ni dice que c sea único. Es un teorema de existencia.

Por qué importa la continuidad: contraejemplos

Una asíntota vertical. Sea f(x) = \frac{1}{x} en [-1, 1]. Entonces f(-1) = -1 y f(1) = 1, así que 0 está entre ellos, y sin embargo \frac{1}{x} nunca vale 0. El TVI no se aplica porque f ni siquiera está definida en x = 0, y mucho menos es continua ahí.

Un salto. Sea f(x) = 0 para x < 1 y f(x) = 2 para x \ge 1, en [0, 2]. La función pasa de 0 a 2 pero nunca vale 1. El salto en x = 1 rompe la continuidad.

No basta con la continuidad en una parte del intervalo. La hipótesis es continuidad en todo [a, b], incluidos los extremos. Comprobar unos cuantos puntos no demuestra nada. Consulta la guía sobre continuidad para ver cómo comprobarla.

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1: demuestra que x^3 - x - 1 = 0 tiene una solución entre 1 y 2.

Paso 1. f(x) = x^3 - x - 1 es un polinomio, así que es continua en [1, 2].

Paso 2. f(1) = 1 - 1 - 1 = -1 y f(2) = 8 - 2 - 1 = 5.

Paso 3. Como -1 < 0 < 5, el TVI da un c en (1, 2) con f(c) = 0.

Paso 4 (acotar la raíz). f(1.5) = 3.375 - 1.5 - 1 = 0.875 > 0, así que el cambio de signo, y por tanto una raíz, está en (1, 1.5). Repetir esta división a la mitad es el método de bisección, que localiza la raíz en c \approx 1.3247.

Ejemplo 2: demuestra que \cos x = x tiene solución.

Pasa todo a un lado: g(x) = \cos x - x, que es continua en todas partes. Entonces

Por el TVI, g(c) = 0 para algún c en (0, \frac{\pi}{2}), así que \cos c = c. Nunca podrías resolver esta ecuación con álgebra, pero el TVI demuestra que la solución existe.

Ejemplo 3: alcanzar un valor distinto de cero. Demuestra que f(x) = x^2 + x toma el valor 4 en [1, 2]. f es continua, f(1) = 2 y f(2) = 6. Como 2 < 4 < 6, existe un c en (1, 2) con c^2 + c = 4. (Al resolver se obtiene c = \frac{-1 + \sqrt{17}}{2} \approx 1.56, que efectivamente está en el intervalo.)

Cómo redactar un argumento con el TVI

Una respuesta completa en un examen menciona las tres piezas:

1. Continuidad: explica por qué f es continua en [a, b] (es un polinomio, una suma de funciones continuas, etc.).
2. Valores en los extremos: calcula f(a) y f(b).
3. Conclusión: indica que N está entre ellos, así que por el teorema del valor intermedio existe algún c en (a, b) con f(c) = N.

Errores comunes

1. Saltarse la comprobación de continuidad. Sin ella el argumento está incompleto, y para funciones como \tan x o \frac{1}{x} la conclusión puede ser falsa.
2. Afirmar que hay exactamente una solución. El TVI garantiza al menos una. La unicidad requiere un argumento aparte, por ejemplo que f sea estrictamente creciente.
3. Usar el recíproco. Una función que toma todos los valores intermedios no es necesariamente continua. El TVI solo funciona en un sentido.

Teoremas relacionados

El TVI va de la mano del teorema del valor extremo: ambos se apoyan en la continuidad en un intervalo cerrado. Para demostrar que una raíz es la única, combina el TVI con el teorema de Rolle. Para las técnicas de límites en las que se basa la continuidad, consulta cómo calcular límites y el teorema del sándwich.