Dérivée d'une fonction composée : méthode et exemples corrigés

La règle de la puissance règle x^5 en une ligne. Mais que faire de (3x+1)^5 ? Le développer prendrait une page de calculs. La règle de dérivation en chaîne y arrive en une étape, et c'est la règle que vous utiliserez le plus souvent en analyse.

Ce guide explique ce que dit la règle de dérivation en chaîne, pourquoi elle fonctionne, comment trouver la fonction « intérieure », et détaille des exemples corrigés à suivre ligne par ligne.

Ce que dit la règle de dérivation en chaîne

Une fonction composée est une fonction placée dans une autre, notée f(g(x)). On appelle g la fonction intérieure et f la fonction extérieure.

La règle de dérivation en chaîne dit :

Lisez-la comme une recette :

1. Dérivez la fonction extérieure, en laissant l'intérieur exactement tel qu'il est.
2. Multipliez par la dérivée de la fonction intérieure.

C'est toute la règle. Le reste n'est qu'entraînement à repérer ce qui est à l'intérieur.

En notation de Leibniz, si y = f(u) et u = g(x), la même règle s'écrit

ce qui ressemble à des fractions qui se simplifient. Ce ne sont pas vraiment des fractions, mais c'est un excellent moyen de s'en souvenir.

Pourquoi ça marche : les taux se multiplient

Imaginez trois engrenages. L'engrenage u fait 3 tours pour chaque tour de l'engrenage x. L'engrenage y fait 2 tours pour chaque tour de l'engrenage u. Combien de tours fait y pour chaque tour de x ? Six : 2 \cdot 3.

Les dérivées sont des taux de variation, et des taux de variation enchaînés se multiplient exactement de la même façon. C'est tout ce que dit la règle de dérivation en chaîne : le taux de la chaîne entière est le produit des taux de chaque maillon.

La courbe montre pourquoi l'intérieur compte. Si vous dériviez \sin(x^2) en écrivant simplement \cos(x^2), la pente ne pourrait jamais dépasser 1. Or la courbe devient clairement plus raide à mesure qu'on s'éloigne de 0. C'est le facteur 2x venu de l'intérieur qui traduit cela.

Comment trouver la fonction intérieure

Demandez-vous : qu'est-ce que je calculerais en dernier si j'évaluais cette expression à la calculatrice ? Cette dernière opération est la fonction extérieure. Ce sur quoi elle agit est l'intérieur.

Un test rapide : si l'intérieur est simplement x, vous n'avez pas besoin de la dérivation en chaîne (la dérivée de l'intérieur vaudrait 1). Dès que l'intérieur est quelque chose de plus, il la faut.

Exemple corrigé 1 : une puissance d'un polynôme

Dérivez y = (3x+1)^5.

Étape 1. Nommer les morceaux. Extérieur : u^5. Intérieur : u = 3x+1.

Étape 2. Dériver l'extérieur, garder l'intérieur. La dérivée de u^5 est 5u^4, donc on obtient 5(3x+1)^4.

Étape 3. Multiplier par la dérivée de l'intérieur. La dérivée de 3x + 1 est 3.

Remarquez qu'on n'a jamais développé (3x+1)^5. C'est toute la force de la dérivation en chaîne.

Exemple corrigé 2 : une fonction trigonométrique

Dérivez y = \sin(x^2).

• Extérieur : \sin u, de dérivée \cos u.
• Intérieur : u = x^2, de dérivée 2x.

Une erreur fréquente consiste à écrire \cos(2x). L'intérieur reste x^2 dans le cosinus. Le 2x se place à l'extérieur, en facteur.

Exemple corrigé 3 : exponentielles et logarithmes

Dérivez y = e^{4x}.

La dérivée de e^u est e^u elle-même, donc la partie extérieure donne e^{4x}. L'intérieur 4x a pour dérivée 4 :

Dérivez maintenant y = \ln(x^2 + 1).

La dérivée de \ln u est \frac{1}{u}, et l'intérieur x^2+1 a pour dérivée 2x :

Exemple corrigé 4 : une racine carrée

Dérivez y = \sqrt{x^2 + 9}.

Réécrivez d'abord la racine comme une puissance : y = (x^2+9)^{1/2}. Ensuite :

Réécrire les racines comme des puissances fractionnaires rend la dérivation en chaîne (et la règle de la puissance) beaucoup plus simple à appliquer.

Appliquer la dérivation en chaîne plusieurs fois

Certaines fonctions ont plusieurs couches, comme un oignon. Épluchez-les une par une de l'extérieur vers l'intérieur, et multipliez toutes les dérivées entre elles.

Dérivez y = \sin^3(2x), c'est-à-dire \left(\sin(2x)\right)^3.

1. Couche la plus extérieure, le cube : 3\sin^2(2x).
2. Couche du milieu, le sinus : \cos(2x).
3. Couche la plus intérieure, 2x : 2.

Astuce : dites les couches à voix haute. « Le cube du sinus de deux x. » Puis dérivez dans ce même ordre.

Dérivation en chaîne et règle du produit

Beaucoup de vrais exercices mélangent les règles. Dérivez y = x^2 \sin(3x).

C'est un produit, donc on commence par la règle du produit, (uv)' = u'v + uv', et on utilise la dérivation en chaîne à l'intérieur pour \sin(3x) :

La dérivation en chaîne n'est intervenue qu'à un seul endroit : la dérivée de \sin(3x) est 3\cos(3x).

Les erreurs fréquentes avec la dérivation en chaîne

Voici les erreurs que notre correcteur rencontre le plus souvent, dans l'ordre :

1. Oublier la dérivée de l'intérieur. Écrire \frac{d}{dx}(3x+1)^5 = 5(3x+1)^4. Le facteur 3 manquant est de loin l'erreur la plus courante avec cette règle.
2. Modifier l'intérieur. Écrire \frac{d}{dx}\sin(x^2) = \cos(2x). L'intérieur reste le même dans la dérivée de l'extérieur.
3. L'appliquer quand ce n'est pas nécessaire. \frac{d}{dx}\sin x vaut simplement \cos x. Il n'y a pas de facteur supplémentaire, car l'intérieur est simplement x.
4. S'arrêter une couche trop tôt. Dans \sin^3(2x), on oublie facilement le dernier facteur 2.

Une bonne habitude : une fois fini, comptez vos couches et vérifiez que vous avez bien un facteur dérivé pour chacune.

Aide-mémoire

L'entraînement la rend automatique

La dérivation en chaîne devient naturelle à force de répétition. Après vingt ou trente exercices, vous repérerez la fonction intérieure sans y penser. Essayez la leçon interactive ci-dessous : chaque question vous donne un retour immédiat, vous indique précisément quel facteur vous avez oublié et détaille la solution pas à pas.