Dérivée de l'exponentielle et du logarithme : e^x, a^x et ln x

La règle de la puissance règle le cas de x^2, mais elle ne sert à rien pour 2^x, où la variable se trouve dans l'exposant. Les exponentielles et les logarithmes modélisent la croissance, la décroissance, les intérêts et les demi-vies, donc vous aurez sans cesse besoin de leurs dérivées. Il n'y a que quatre formules à retenir, et elles découlent toutes d'une propriété remarquable du nombre e.

Les quatre formules

Une fonction exponentielle a la variable dans l'exposant, comme e^x ou 3^x. Un logarithme est sa fonction réciproque, comme \ln x ou \log_2 x. Leurs dérivées sont :

Ici a > 0, a \neq 1, et \ln désigne le logarithme népérien (de base e). Remarquez que les deux formules en base e sont le cas particulier a = e des formules générales, car \ln e = 1.

Pourquoi e^x est sa propre dérivée

Essayez de dériver une exponentielle quelconque a^x avec la définition par la limite :

La dérivée de a^x est a^x multiplié par une constante. Cette constante est simplement la pente de a^x en x = 0. Pour a = 2, elle vaut environ 0.693. Pour a = 3, environ 1.099. Quelque part entre 2 et 3, il existe une base pour laquelle la pente en 0 vaut exactement 1, et cette base est e \approx 2.71828.

Ainsi, e est défini par la propriété qui rend l'analyse si simple : la pente de e^x en chaque point est égale à sa hauteur. Et la mystérieuse constante des autres bases se révèle être \ln a, ce qui donne \frac{d}{dx}a^x = a^x \ln a.

Pourquoi la dérivée de ln x est 1/x

Posons y = \ln x. Cela signifie e^y = x. Dérivez les deux membres par rapport à x, en utilisant la dérivation en chaîne à gauche (c'est de la dérivation implicite) :

Une conséquence élégante : \frac{d}{dx}\ln|x| = \frac{1}{x} pour tout x \neq 0, et c'est pourquoi \int \frac{1}{x}\,dx = \ln|x| + C.

Pour les autres bases, réécrivez avec la formule de changement de base \log_a x = \frac{\ln x}{\ln a}. Comme \frac{1}{\ln a} est simplement une constante, la dérivée est \frac{1}{x \ln a}.

Exemple corrigé 1 : e avec une fonction intérieure

Dérivez y = e^{x^2}.

Étape 1. Extérieur : e^u, dont la dérivée est elle-même, e^{x^2}.

Étape 2. Intérieur : u = x^2, de dérivée 2x.

Étape 3. Multipliez, d'après la règle de dérivation en chaîne :

L'exposant reste exactement le même. Seul le facteur 2x passe devant.

Exemple corrigé 2 : une exponentielle d'une autre base

Dérivez y = 5^{3x}.

Étape 1. La dérivée de 5^u est 5^u \ln 5, donc la partie extérieure donne 5^{3x}\ln 5.

Étape 2. L'intérieur 3x a pour dérivée 3.

N'utilisez pas la règle de la puissance ici. 3x \cdot 5^{3x-1} est faux, car la base est constante et l'exposant variable, ce qui est l'inverse de la situation de la règle de la puissance.

Exemple corrigé 3 : logarithmes de produits et de composées

Dérivez y = \ln(3x) et y = \log_2(x^2 + 4).

Première fonction. Par la dérivation en chaîne, y' = \frac{1}{3x}\cdot 3 = \frac{1}{x}. Cela paraît surprenant jusqu'à ce qu'on utilise une propriété du logarithme : \ln(3x) = \ln 3 + \ln x, et \ln 3 est une constante. La constante disparaît, il reste \frac{1}{x}.

Deuxième fonction. L'extérieur est \log_2 u, de dérivée \frac{1}{u \ln 2}. L'intérieur x^2 + 4 a pour dérivée 2x :

Astuce : avant de dériver un logarithme, développez-le avec les propriétés du logarithme. \ln\big(x^3\sqrt{x+1}\big) = 3\ln x + \tfrac{1}{2}\ln(x+1), dont la dérivée \frac{3}{x} + \frac{1}{2(x+1)} ne demande aucune règle du produit.

Ce que signifient ces dérivées : une croissance proportionnelle à la taille

La règle \frac{d}{dx}e^{kx} = ke^{kx} traduit un phénomène physique : le taux de variation est proportionnel à la quantité présente. C'est exactement le comportement des populations, des intérêts composés et de la désintégration radioactive.

Supposons qu'une culture de bactéries compte P(t) = 500e^{0.04t} cellules après t heures. Alors

À chaque instant, la culture croît de 4 % de sa taille actuelle par heure. En t = 0, cela fait 20 cellules par heure. Quand la culture a doublé pour atteindre 1000 cellules (en t = \frac{\ln 2}{0.04} \approx 17.3 heures), elle croît de 40 cellules par heure. Les grandes populations croissent plus vite, et e^{kx} est la fonction qui traduit parfaitement ce phénomène.

Les logarithmes font l'inverse. Comme \frac{d}{dx}\ln x = \frac{1}{x} diminue quand x augmente, \ln x croît indéfiniment mais de plus en plus lentement. C'est pourquoi les échelles logarithmiques (décibels, échelle de Richter, pH) compressent d'immenses plages de valeurs en petits nombres lisibles.

La dérivation logarithmique

Certaines fonctions sont impossibles à dériver avec les règles de base, comme x^x, où la variable est à la fois dans la base et dans l'exposant. D'autres sont possibles mais pénibles, comme un long produit de puissances. La dérivation logarithmique règle les deux cas :

1. Écrivez y = f(x) et prenez le \ln des deux membres.
2. Utilisez les propriétés du logarithme pour transformer produits, quotients et puissances en sommes.
3. Dérivez les deux membres. Le membre de gauche devient \frac{y'}{y}.
4. Multipliez les deux membres par y, puis remplacez par la fonction d'origine f(x).

Exemple corrigé 4 : la dérivée de x^x

Posons y = x^x pour x > 0.

Étape 1. \ln y = \ln(x^x) = x\ln x.

Étape 2. Dérivez. Le membre de droite demande la règle du produit :

Étape 3. Multipliez par y = x^x :

Vérification en x = 1 : y' = 1 \cdot (0 + 1) = 1. La même méthode donne \frac{d}{dx}x^{\sin x} = x^{\sin x}\left(\cos x \ln x + \frac{\sin x}{x}\right).

Exemple corrigé 5 : un produit et un quotient compliqués

Dérivez y = \dfrac{x^2(x+1)^3}{\sqrt{x-1}} pour x > 1.

Étape 1. Prendre le logarithme et développer.

Étape 2. Dériver chaque terme.

Étape 3. Multiplier par y.

Faire ce calcul avec la règle du quotient, la règle du produit et deux dérivations en chaîne prendrait une page entière. Les logarithmes l'ont réduit à trois termes faciles.

Les erreurs fréquentes

1. Appliquer la règle de la puissance à a^x. \frac{d}{dx}2^x \neq x\,2^{x-1}. La règle de la puissance ne s'applique qu'à une base variable et un exposant constant.
2. Oublier \ln a. \frac{d}{dx}3^x = 3^x \ln 3, et non 3^x. Seule la base e se passe de ce facteur.
3. Modifier l'exposant. \frac{d}{dx}e^{x^2} = 2x e^{x^2}, et non e^{2x} ni x^2 e^{x^2 - 1}.
4. Écrire \frac{d}{dx}\ln(g(x)) = \frac{1}{g'(x)}. La bonne forme est \frac{g'(x)}{g(x)} : l'intérieur va au dénominateur, sa dérivée au numérateur.
5. Oublier de multiplier par y à la fin d'une dérivation logarithmique, en laissant la réponse sous la forme \frac{y'}{y}.

Aide-mémoire

Prenez l'habitude grâce à l'entraînement

Les formules sont courtes, mais les pièges (règle de la puissance sur 2^x, un \ln a oublié, un exposant modifié) sont faciles à commettre sous la pression d'un examen. La leçon interactive ci-dessous travaille précisément ces points, avec un retour immédiat sur chaque réponse, pour que le bon réflexe devienne automatique avant le jour de l'épreuve.