Dérivées des fonctions trigonométriques : les six, avec preuves

Les fonctions trigonométriques sont partout en analyse : dans les ondes, les ressorts, les roues qui tournent et la moitié des exercices de votre examen. Pour les dériver, il faut six formules, et la bonne nouvelle, c'est qu'il suffit vraiment d'en comprendre deux. Les autres découlent de la règle du quotient, et une règle de signe simple vous aide à toutes les retenir.

Les six dérivées trigonométriques

Une dérivée trigonométrique est le taux de variation d'une fonction trigonométrique. Les voici, avec x en radians :

Regardez la colonne de droite. Toute fonction dont le nom commence par « co » (cosinus, cotangente, cosécante) a un signe moins dans sa dérivée. Et chaque règle « co » est la règle correspondante de la colonne de gauche, où chaque fonction est remplacée par sa cofonction (\sin \leftrightarrow \cos, \tan \leftrightarrow \cot, \sec \leftrightarrow \csc), avec un signe moins en plus.

Pourquoi la dérivée de sin x est cos x : la lire sur la courbe

Avant tout calcul, regardez ensemble les courbes de \sin x et de \cos x.

Suivez la sinusoïde et estimez sa pente :

• En x = 0, le sinus monte en passant par l'origine avec une pente de 1. Le cosinus en 0 vaut 1.
• En x = \frac{\pi}{2}, le sinus atteint son sommet et est momentanément plat. Le cosinus y vaut 0.
• En x = \pi, le sinus redescend aussi fort qu'il peut, pente -1. Le cosinus en \pi vaut -1.
• En x = \frac{3\pi}{2}, le sinus atteint son minimum, pente 0. Le cosinus vaut de nouveau 0.

En chaque point, la hauteur de la courbe du cosinus correspond à la pente de la courbe du sinus. C'est ce que signifie (\sin x)' = \cos x.

Faites de même pour le cosinus. Juste à droite de x = 0, le cosinus est à son sommet et commence à descendre, alors que le sinus est positif. La pente du cosinus est donc l'opposé du sinus : (\cos x)' = -\sin x.

La preuve par la définition

La courbe convainc ; la limite démontre. Avec la définition de la dérivée par la limite et l'identité \sin(x+h) = \sin x \cos h + \cos x \sin h :

Regroupez les termes en \sin x :

Deux limites célèbres concluent : \lim_{h\to 0}\frac{\sin h}{h} = 1 et \lim_{h \to 0}\frac{\cos h - 1}{h} = 0. La dérivée vaut donc \sin x \cdot 0 + \cos x \cdot 1 = \cos x.

Cette première limite vaut 1 seulement en radians. En degrés, elle vaudrait \frac{\pi}{180}, et chaque dérivée trigonométrique traînerait ce facteur encombrant. C'est la vraie raison pour laquelle l'analyse utilise les radians.

Obtenir tan, cot, sec et csc avec la règle du quotient

Les quatre autres sont des quotients de sinus et de cosinus, donc la règle du quotient les donne.

Tangente. Avec \tan x = \frac{\sin x}{\cos x} :

Sécante. Avec \sec x = \frac{1}{\cos x} (le numérateur est la constante 1, de dérivée 0) :

La cotangente et la cosécante se traitent de la même façon, et les signes moins apparaissent parce que la dérivée de \cos x est négative.

Exemple corrigé 1 : trigonométrie et dérivation en chaîne

Dérivez y = \sin(3x).

Étape 1. Extérieur : \sin u. Intérieur : u = 3x.

Étape 2. Dérivez l'extérieur en gardant l'intérieur : \cos(3x).

Étape 3. Multipliez par la dérivée de l'intérieur, 3 :

Le même schéma donne \frac{d}{dx}\cos(5x) = -5\sin(5x) et \frac{d}{dx}\tan(x^2) = 2x\sec^2(x^2). Pour vous entraîner davantage à repérer l'intérieur, consultez le guide sur la dérivation en chaîne.

Exemple corrigé 2 : une puissance d'une fonction trigonométrique

Dérivez y = \cos^2 x, c'est-à-dire (\cos x)^2.

Étape 1. Couche extérieure, le carré. 2\cos x.

Étape 2. Couche intérieure, le cosinus. Sa dérivée est -\sin x.

Étape 3. Multiplier.

Avec la formule de duplication 2\sin x\cos x = \sin(2x), cela se simplifie en y' = -\sin(2x).

Exemple corrigé 3 : la sécante avec une fonction intérieure

Dérivez y = \sec(4x).

Étape 1. La dérivée de \sec u est \sec u \tan u, donc la partie extérieure donne \sec(4x)\tan(4x).

Étape 2. L'intérieur 4x a pour dérivée 4.

Remarquez que la sécante et la tangente gardent toutes les deux l'intérieur 4x.

Exemple corrigé 4 : règle du produit avec une fonction trigonométrique

Dérivez y = x\cos x, puis trouvez la tangente en x = \frac{\pi}{2}.

Étape 1. Règle du produit. Avec u = x et v = \cos x :

Étape 2. Évaluer en x = \frac{\pi}{2}. Le point est \left(\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\cos\frac{\pi}{2}\right) = \left(\frac{\pi}{2}, 0\right). La pente vaut \cos\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{2}\sin\frac{\pi}{2} = 0 - \frac{\pi}{2} = -\frac{\pi}{2}.

Étape 3. La tangente.

Exemple corrigé 5 : où la tangente est-elle horizontale ?

Trouvez tous les x de [0, 2\pi) où y = \sin x + \cos x a une tangente horizontale.

Étape 1. Dériver terme à terme.

Étape 2. Annuler la dérivée. \cos x = \sin x. En divisant par \cos x (qui ne peut pas être nul ici, car alors \sin x vaudrait \pm 1, et non 0), on obtient \tan x = 1.

Étape 3. Résoudre sur l'intervalle. \tan x = 1 en x = \frac{\pi}{4} et x = \frac{5\pi}{4}.

Étape 4. Trouver les hauteurs. En \frac{\pi}{4}, y = \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}, le maximum. En \frac{5\pi}{4}, y = -\sqrt{2}, le minimum. Ainsi \sin x + \cos x est une onde qui oscille entre -\sqrt{2} et \sqrt{2}, un résultat obtenu avec seulement les deux premières règles du tableau.

Les dérivées successives du sinus et du cosinus se répètent

Dérivez \sin x encore et encore :

Le cycle se répète toutes les quatre dérivées. Pour trouver la dérivée 23e de \sin x, divisez 23 par 4 : le reste est 3, donc elle correspond à la dérivée troisième, -\cos x. Ce cycle explique aussi pourquoi y = \sin x et y = \cos x sont solutions de l'équation du ressort y'' = -y.

Les erreurs fréquentes sur les dérivées trigonométriques

1. Oublier le signe moins. (\cos x)' = -\sin x, et non \sin x. Retenez : les fonctions « co » prennent un moins.
2. Oublier la dérivée de l'intérieur. \frac{d}{dx}\sin(3x) = 3\cos(3x), et non \cos(3x).
3. Modifier l'intérieur. \frac{d}{dx}\tan(x^2) vaut 2x\sec^2(x^2), et non \sec^2(2x).
4. Confondre \sin^2 x et \sin(x^2). Le premier est (\sin x)^2, de dérivée 2\sin x\cos x. Le second a pour dérivée 2x\cos(x^2).
5. Travailler en degrés. Une calculatrice en mode degrés fera paraître fausse chaque vérification numérique.
6. Perdre un facteur dans la règle de la sécante. (\sec x)' = \sec x \tan x garde la sécante ; ce n'est pas simplement \tan x.

Aide-mémoire

Entraînez-vous jusqu'au réflexe

Vous utiliserez ces six formules pendant tout le reste de l'analyse, y compris en intégration, où l'on lit le tableau à l'envers. Le moyen le plus rapide de les fixer est de s'en servir. La leçon interactive ci-dessous mélange des dérivées trigonométriques simples avec des versions qui demandent la dérivation en chaîne ou la règle du produit, et vous donne un retour immédiat pour qu'un signe moins oublié soit repéré dès qu'il se produit.