Dérivées partielles : notations, interprétation et exemples corrigés
Calculer des dérivées partielles, les lire comme pentes de traces, trouver les dérivées secondes, et le théorème de Schwarz sur les dérivées croisées.
Par l'équipe PracticeCalculus Publié Lecture : 7 min
Sur cette page
- Qu'est-ce qu'une dérivée partielle ?
- Notations des dérivées partielles
- Comment calculer des dérivées partielles
- Ce que signifie une dérivée partielle : la pente des traces
- Dérivées partielles secondes
- Le théorème de Schwarz : pourquoi les dérivées croisées sont égales
- Erreurs fréquentes avec les dérivées partielles
- Mémo : dérivées partielles
- Rendez-les automatiques par l'entraînement
Une fonction comme f(x, y) = x^2 y + y^3 dépend de deux entrées à la fois, donc « la dérivée » n'est plus un seul nombre. Si l'on modifie un peu x, la sortie varie d'une certaine façon. Si l'on modifie un peu y, elle varie autrement. Les dérivées partielles mesurent chacun de ces taux séparément, et la bonne nouvelle, c'est que vous connaissez déjà toutes les règles nécessaires.
Ce guide présente ce que signifient les dérivées partielles, leurs notations, comment les calculer (y compris avec la dérivation en chaîne), comment les lire comme des pentes sur une surface, et les dérivées secondes avec le théorème de Schwarz.
Qu'est-ce qu'une dérivée partielle ?
La dérivée partielle de f par rapport à x est le taux de variation de f quand x varie et que toutes les autres variables sont fixées. Pour une fonction de deux variables, elle est définie par une limite, comme une dérivée ordinaire :
Une seule variable bouge dans chaque limite. C'est toute l'idée : on fige les autres et on prend une dérivée normale.
Notations des dérivées partielles
Vous rencontrerez plusieurs notations équivalentes pour la même chose :
| Signification | Indice | Leibniz | Opérateur |
|---|---|---|---|
| taux dans la direction de x | f_x | \frac{\partial f}{\partial x} | \partial_x f |
| taux dans la direction de y | f_y | \frac{\partial f}{\partial y} | \partial_y f |
| valeur en un point | f_x(a, b) | \left.\frac{\partial f}{\partial x}\right\rvert_{(a,b)} |
Si z = f(x, y), on voit aussi \frac{\partial z}{\partial x} ou z_x.
Comment calculer des dérivées partielles
La règle d'or : toutes les variables sauf celle par rapport à laquelle on dérive sont des constantes. Ainsi y^3, 5y et \sin y se comportent tous comme des nombres quand on calcule \frac{\partial}{\partial x}.
Exemple corrigé 1 : un polynôme
Trouvez f_x et f_y pour f(x, y) = 3x^2 y + y^3 - 4x.
Étape 1. Dériver par rapport à x, en gardant y constant.
- 3x^2 y : la constante 3y suit, et x^2 devient 2x, ce qui donne 6xy.
- y^3 : pas de x du tout, c'est donc une constante et sa dérivée vaut 0.
- -4x : dérivée -4.
Étape 2. Dériver par rapport à y, en gardant x constant.
- 3x^2 y : la constante 3x^2 suit, et y devient 1, ce qui donne 3x^2.
- y^3 : dérivée 3y^2.
- -4x : pas de y, donc 0.
Exemple corrigé 2 : avec la dérivation en chaîne
Trouvez f_x et f_y pour f(x, y) = \sin(x^2 y).
La fonction extérieure est \sin u et la fonction intérieure est u = x^2 y, donc la règle de dérivation en chaîne s'applique exactement comme pour une variable.
Étape 1. Par rapport à x. La dérivée de l'intérieur est \frac{\partial}{\partial x}(x^2 y) = 2xy.
Étape 2. Par rapport à y. La dérivée de l'intérieur est \frac{\partial}{\partial y}(x^2 y) = x^2.
Exemple corrigé 3 : un logarithme et trois variables
Trouvez \frac{\partial f}{\partial x} pour f(x, y) = \ln(x^2 + y^2), puis g_z pour g(x, y, z) = x y^2 z^3.
Étape 1. Pour le logarithme, on dérive \ln u en \frac{1}{u} et on multiplie par \frac{\partial u}{\partial x} = 2x :
Étape 2. Avec trois variables, rien ne change : on fixe x et y et on dérive z^3.
Ce que signifie une dérivée partielle : la pente des traces
Le graphe de z = f(x, y) est une surface. Coupez-la par le plan vertical y = b et vous obtenez une courbe, appelée trace, qui ne dépend que de x : z = f(x, b). La dérivée partielle f_x(a, b) est la pente de cette courbe en x = a.
Prenons le dôme f(x, y) = 6 - x^2 - 2y^2 au point (1, 1), où f(1, 1) = 3.
Étape 1. Couper par y = 1. La trace est z = 6 - x^2 - 2 = 4 - x^2.
Étape 2. Dériver. f_x = -2x, donc f_x(1, 1) = -2. La trace descend avec une pente -2 quand x augmente.
Étape 3. Tangente dans la coupe. z = 3 - 2(x - 1) = 5 - 2x.
En coupant dans l'autre sens, par x = 1, on obtient la trace z = 5 - 2y^2. Sa pente en y = 1 vaut f_y(1, 1) = -4y\big|_{y=1} = -4. En ce point, le dôme descend donc deux fois plus fort dans la direction de y que dans celle de x.
Concrètement, f_x répond à la question « de combien la sortie varie-t-elle par unité de x, si rien d'autre ne change ? ». Si P(L, K) est la production d'une usine en fonction du travail L et du capital K, alors P_L est la production supplémentaire obtenue avec une unité de travail de plus, à capital fixé.
Dérivées partielles secondes
Chaque dérivée partielle première est encore une fonction de x et y, on peut donc la dériver partiellement à son tour. Une fonction de deux variables a quatre dérivées partielles secondes :
Les deux dernières sont les dérivées croisées. Les indices se lisent de gauche à droite : f_{xy} signifie « d'abord x, puis y ». La notation de Leibniz écrit les variables de droite à gauche, donc \frac{\partial^2 f}{\partial y\,\partial x} signifie aussi « d'abord x, puis y ».
f_{xx} mesure la convexité de la trace en x, et f_{yy} celle de la trace en y. Pour le dôme ci-dessus, f_{xx} = -2 et f_{yy} = -4, toutes deux négatives : la surface est courbée vers le bas dans les deux directions.
Exemple corrigé 4 : les quatre dérivées secondes
Trouvez toutes les dérivées partielles secondes de f(x, y) = x^3 y^2 + 2xy^4.
Étape 1. Dérivées premières.
Étape 2. Dériver f_x.
Étape 3. Dériver f_y.
Étape 4. Comparer les dérivées croisées. f_{xy} = f_{yx} = 6x^2 y + 8y^3. Elles sont égales.
Le théorème de Schwarz : pourquoi les dérivées croisées sont égales
L'égalité de l'exemple 4 n'était pas un hasard.
Théorème de Schwarz (ou de Clairaut) : si f_{xy} et f_{yx} sont toutes deux continues sur un disque ouvert centré en (a, b), alors f_{xy}(a, b) = f_{yx}(a, b).
Les polynômes, les exponentielles, les sinus, les cosinus et leurs combinaisons ont des dérivées partielles continues partout où ils sont définis : en pratique, l'ordre de dérivation n'a donc pas d'importance. Cela apporte deux avantages concrets :
- Une vérification gratuite. Calculez les deux dérivées croisées. Si elles diffèrent, vous avez fait une erreur de calcul.
- Un raccourci. Choisissez l'ordre le plus facile. Pour f(x, y) = y e^{x^2} + x, trouver f_{yx} est plus rapide : f_y = e^{x^2}, donc f_{yx} = 2x e^{x^2}. D'après Schwarz, f_{xy} est la même.
Erreurs fréquentes avec les dérivées partielles
- Dériver la variable « constante ». Dans \frac{\partial}{\partial x}(x^2 y^3), le y^3 reste y^3. La réponse est 2xy^3, pas 6xy^2.
- Garder des termes qui devraient disparaître. Tout terme sans x, comme y^3 ou \sin y, a une \frac{\partial}{\partial x} = 0.
- Utiliser la règle du produit quand elle est inutile. x^2 y^3 est une constante fois x^2 quand on dérive par rapport à x, donc pas besoin de règle du produit.
- Oublier le facteur de la dérivation en chaîne. \frac{\partial}{\partial y} e^{xy} = x e^{xy}, et non e^{xy}.
- Confondre l'ordre entre f_{xy} et \frac{\partial^2 f}{\partial x\,\partial y}. Avec Schwarz, cela change rarement le résultat, mais cela change les calculs que vous montrez.
Mémo : dérivées partielles
| Fonction | f_x | f_y |
|---|---|---|
| x^m y^n | m x^{m-1} y^n | n x^m y^{n-1} |
| e^{xy} | y e^{xy} | x e^{xy} |
| \sin(xy) | y\cos(xy) | x\cos(xy) |
| \ln(x^2 + y^2) | \frac{2x}{x^2+y^2} | \frac{2y}{x^2+y^2} |
| \frac{x}{y} | \frac{1}{y} | -\frac{x}{y^2} |
| g(x) + h(y) | g'(x) | h'(y) |
Rendez-les automatiques par l'entraînement
Les dérivées partielles sont la base de tout le reste en analyse à plusieurs variables : le gradient et les dérivées directionnelles, les plans tangents, l'optimisation et les multiplicateurs de Lagrange. La leçon interactive ci-dessous vous propose des fonctions à dériver une variable à la fois, avec une correction immédiate qui vous indique quelle variable vous avez dérivée par erreur.
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