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Analyse à plusieurs variables

Gradient et dérivée directionnelle : formule et exemples

Ce qu'est le vecteur gradient, comment calculer une dérivée directionnelle avec un vecteur unitaire, et pourquoi le gradient indique la plus forte pente.

Par l'équipe PracticeCalculus Publié Lecture : 8 min

Sur cette page
  1. Qu'est-ce que le gradient ?
  2. La formule de la dérivée directionnelle
  3. Exemple corrigé 1 : une direction donnée par un vecteur
  4. Exemple corrigé 2 : une direction donnée par un angle
  5. Pourquoi le gradient indique la direction de plus forte pente
  6. Exemple corrigé 3 : la plus forte pente sur une colline
  7. Exemple corrigé 4 : trois variables
  8. Les erreurs fréquentes sur le gradient et les dérivées directionnelles
  9. Aide-mémoire : les propriétés du gradient
  10. Entraînez-vous jusqu'à lire le gradient comme une carte

Vous êtes sur le flanc d'une colline décrite par z = f(x, y). Les dérivées partielles vous disent quelle est la pente si vous marchez plein est ou plein nord. Mais si vous marchez vers le nord-est ? Et dans quelle direction marcher pour monter le plus vite possible ? Le gradient répond aux deux questions avec un seul vecteur.

Ce guide explique le gradient, la formule de la dérivée directionnelle, pourquoi le gradient pointe vers le haut de la pente, et détaille quatre exemples complets.

Qu'est-ce que le gradient ?

Le gradient d'une fonction est le vecteur de ses dérivées partielles premières. Pour deux et trois variables :

\nabla f(x, y) = \langle f_x(x, y),\ f_y(x, y) \rangle, \qquad \nabla f(x, y, z) = \langle f_x, f_y, f_z \rangle

Le symbole \nabla se lit « nabla » ou « grad ». Le gradient est une fonction à valeurs vectorielles : en chaque point, il donne un vecteur situé dans le plan des variables (le plan xy), et non sur la surface.

Par exemple, si f(x, y) = x^2 + 3xy, alors f_x = 2x + 3y et f_y = 3x, donc

\nabla f(x, y) = \langle 2x + 3y,\ 3x \rangle, \qquad \nabla f(1, 2) = \langle 8, 3 \rangle

La formule de la dérivée directionnelle

La dérivée directionnelle de f en un point dans la direction d'un vecteur unitaire \mathbf{u} est le taux de variation de f par unité de distance parcourue dans cette direction :

D_{\mathbf{u}} f(x, y) = \nabla f(x, y) \cdot \mathbf{u}

Si \mathbf{u} = \langle u_1, u_2 \rangle, cela donne D_{\mathbf{u}} f = f_x u_1 + f_y u_2.

Les dérivées partielles en sont des cas particuliers. Avec \mathbf{u} = \langle 1, 0 \rangle, on obtient D_{\mathbf{u}} f = f_x, et avec \mathbf{u} = \langle 0, 1 \rangle, on obtient f_y.

Comment calculer une dérivée directionnelle :

  1. Trouvez le gradient \nabla f et évaluez-le au point.
  2. Transformez la direction en vecteur unitaire : divisez par sa norme, ou utilisez \mathbf{u} = \langle \cos\theta, \sin\theta \rangle pour un angle \theta.
  3. Faites le produit scalaire des deux.

Astuce : l'étape 2 est celle qu'on oublie. Si l'énoncé dit « dans la direction de \langle 3, 4 \rangle », vous devez utiliser \langle \frac{3}{5}, \frac{4}{5} \rangle.

Exemple corrigé 1 : une direction donnée par un vecteur

Trouvez la dérivée directionnelle de f(x, y) = x^2 + 3xy en (1, 2) dans la direction de \mathbf{v} = \langle 3, 4 \rangle.

Étape 1. Gradient au point. D'après ce qui précède, \nabla f(1, 2) = \langle 2(1) + 3(2),\ 3(1) \rangle = \langle 8, 3 \rangle.

Étape 2. Vecteur unitaire. |\mathbf{v}| = \sqrt{9 + 16} = 5, donc \mathbf{u} = \left\langle \frac{3}{5}, \frac{4}{5} \right\rangle.

Étape 3. Produit scalaire.

D_{\mathbf{u}} f(1, 2) = 8 \cdot \frac{3}{5} + 3 \cdot \frac{4}{5} = \frac{24}{5} + \frac{12}{5} = \frac{36}{5} = 7.2

En partant de (1, 2) dans la direction de \langle 3, 4 \rangle, f augmente d'environ 7.2 unités par unité de distance.

Exemple corrigé 2 : une direction donnée par un angle

Trouvez la dérivée directionnelle de f(x, y) = x e^y en (2, 0) dans la direction qui fait un angle \theta = \frac{\pi}{3} avec l'axe des x positifs.

Étape 1. Gradient. f_x = e^y et f_y = x e^y, donc \nabla f(2, 0) = \langle e^0, 2e^0 \rangle = \langle 1, 2 \rangle.

Étape 2. Vecteur unitaire à partir de l'angle.

\mathbf{u} = \left\langle \cos\tfrac{\pi}{3}, \sin\tfrac{\pi}{3} \right\rangle = \left\langle \tfrac{1}{2}, \tfrac{\sqrt{3}}{2} \right\rangle

Il est déjà de norme 1, donc inutile de diviser.

Étape 3. Produit scalaire.

D_{\mathbf{u}} f(2, 0) = 1 \cdot \frac{1}{2} + 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{1}{2} + \sqrt{3} \approx 2.23

Pourquoi le gradient indique la direction de plus forte pente

Utilisez la forme géométrique du produit scalaire. Si \theta est l'angle entre \nabla f et le vecteur unitaire \mathbf{u}, alors

D_{\mathbf{u}} f = |\nabla f|\,|\mathbf{u}|\cos\theta = |\nabla f|\cos\theta

Comme \cos\theta varie de -1 à 1, trois faits en découlent :

  • Plus forte montée : la plus grande valeur, |\nabla f|, est atteinte pour \theta = 0, quand \mathbf{u} pointe dans la direction de \nabla f.
  • Plus forte descente : la plus petite valeur, -|\nabla f|, est atteinte pour \theta = \pi, quand \mathbf{u} pointe dans la direction de -\nabla f.
  • Aucune variation : D_{\mathbf{u}} f = 0 quand \theta = \frac{\pi}{2}, c'est-à-dire dans les directions perpendiculaires à \nabla f. Ce sont les directions le long de la ligne de niveau.

Ce dernier fait signifie que le gradient est toujours orthogonal aux lignes de niveau de f. Sur une carte topographique, le gradient pointe droit vers le haut de la pente et coupe les courbes de niveau à angle droit.

Exemple corrigé 3 : la plus forte pente sur une colline

L'altitude d'une colline est f(x, y) = 100 - x^2 - 2y^2. Une randonneuse se trouve en (3, 1).

Étape 1. Gradient. \nabla f = \langle -2x, -4y \rangle, donc \nabla f(3, 1) = \langle -6, -4 \rangle.

Étape 2. Direction de plus forte montée. C'est \langle -6, -4 \rangle, soit comme vecteur unitaire,

\mathbf{u} = \frac{\langle -6, -4 \rangle}{\sqrt{36 + 16}} = \frac{\langle -3, -2 \rangle}{\sqrt{13}}

Il pointe vers le haut, à peu près vers le sommet situé à l'origine. (Pas exactement vers lui : la colline est plus raide dans la direction y, donc le gradient se dirige vers l'axe des x plus nettement qu'une ligne droite vers le sommet.)

Étape 3. Taux maximal. |\nabla f(3, 1)| = \sqrt{52} = 2\sqrt{13} \approx 7.21.

Étape 4. Plus forte descente. La direction opposée, \langle 6, 4 \rangle, avec un taux de -2\sqrt{13}.

Étape 5. Directions à altitude constante. Les vecteurs perpendiculaires à \langle -3, -2 \rangle sont \langle 2, -3 \rangle et \langle -2, 3 \rangle (vérification : -6 + 6 = 0). Marcher dans l'une ou l'autre direction garde la randonneuse à la même altitude, du moins instantanément.

Le point (3, 1) se trouve sur la ligne de niveau x^2 + 2y^2 = 11 (où l'altitude vaut 89). Le graphique montre cette courbe, la direction du gradient et la direction tangente. Elles se coupent à angle droit.

Ligne de niveau x² + 2y² = 11 de la colline f(x, y) = 100 − x² − 2y², avec la droite du gradient et la tangente en (3, 1)
En (3, 1), le gradient \langle -6, -4 \rangle pointe vers le haut le long de la droite du gradient, perpendiculairement à la ligne de niveau. La direction tangente \langle 2, -3 \rangle garde f constante.

Exemple corrigé 4 : trois variables

Trouvez la dérivée directionnelle de f(x, y, z) = xyz en P(1, 2, 3) dans la direction du point Q(2, 4, 5).

Étape 1. Gradient. \nabla f = \langle yz, xz, xy \rangle, donc \nabla f(1, 2, 3) = \langle 6, 3, 2 \rangle.

Étape 2. Vecteur direction. \overrightarrow{PQ} = \langle 1, 2, 2 \rangle, de norme \sqrt{1 + 4 + 4} = 3. Donc \mathbf{u} = \left\langle \frac{1}{3}, \frac{2}{3}, \frac{2}{3} \right\rangle.

Étape 3. Produit scalaire.

D_{\mathbf{u}} f(1, 2, 3) = 6 \cdot \frac{1}{3} + 3 \cdot \frac{2}{3} + 2 \cdot \frac{2}{3} = 2 + 2 + \frac{4}{3} = \frac{16}{3}

Le taux maximal possible en P est |\nabla f| = \sqrt{36 + 9 + 4} = 7, donc cette direction donne \frac{16}{3} \approx 5.33 sur un maximum possible de 7.

En trois variables, le gradient est orthogonal à la surface de niveau f(x, y, z) = c, et c'est pourquoi \nabla f sert de vecteur normal pour les plans tangents.

Les erreurs fréquentes sur le gradient et les dérivées directionnelles

  1. Ne pas normer la direction. Utiliser \langle 3, 4 \rangle au lieu de \langle \frac{3}{5}, \frac{4}{5} \rangle rend la réponse 5 fois trop grande.
  2. Utiliser le point au lieu de la direction. Dans l'exemple 4, la direction est Q - P, pas Q lui-même.
  3. Oublier d'évaluer le gradient au point. La réponse à une question de dérivée directionnelle est un nombre, pas une formule.
  4. Croire que le gradient se trouve sur la surface. Pour z = f(x, y), \nabla f est un vecteur du plan xy qui vous dit dans quelle direction marcher.
  5. Confondre le taux maximal et sa direction. La direction est \nabla f (ou son vecteur unitaire). Le taux est le nombre |\nabla f|.

Aide-mémoire : les propriétés du gradient

Question Réponse
Gradient de f(x, y) \nabla f = \langle f_x, f_y \rangle
Taux de variation dans la direction \mathbf{u} (\lvert\mathbf{u}\rvert = 1) D_{\mathbf{u}} f = \nabla f \cdot \mathbf{u}
Vecteur unitaire d'angle \theta \langle \cos\theta, \sin\theta \rangle
Direction de croissance la plus rapide \nabla f
Taux de croissance maximal \lvert \nabla f \rvert
Direction de décroissance la plus rapide -\nabla f
Directions sans variation perpendiculaires à \nabla f (le long de la ligne de niveau)

Entraînez-vous jusqu'à lire le gradient comme une carte

Une fois que vous savez calculer un gradient de tête et que vous pensez à normer la direction, ces exercices deviennent des points faciles à l'examen. C'est aussi l'idée clé derrière les multiplicateurs de Lagrange. La leçon interactive ci-dessous vous propose des surfaces, des points et des directions, et vérifie chaque étape instantanément pour que vous repériez un vecteur non unitaire dès la première fois.

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Le gradient et les dérivées directionnelles

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Questions fréquentes

Qu'est-ce que le gradient d'une fonction ?
Le gradient de f(x, y) est le vecteur \nabla f = \langle f_x, f_y \rangle de ses dérivées partielles, et pour trois variables on y ajoute f_z. En chaque point, il indique la direction dans laquelle f croît le plus vite, et sa norme est ce taux de croissance maximal.

Qu'est-ce qu'une dérivée directionnelle ?
Une dérivée directionnelle est le taux de variation de f quand on part d'un point dans une direction choisie. Elle généralise les dérivées partielles, qui ne mesurent la variation que le long des axes de coordonnées. On la calcule par D_{\mathbf{u}} f = \nabla f \cdot \mathbf{u} avec \mathbf{u} un vecteur unitaire.

Pourquoi le vecteur direction doit-il être unitaire ?
La dérivée directionnelle est un taux par unité de distance. Si vous prenez un vecteur plus long, le produit scalaire est multiplié par sa norme et la réponse est trop grande. Divisez toujours d'abord le vecteur direction par sa norme.

Pourquoi le gradient indique-t-il la direction de plus forte pente ?
Comme D_{\mathbf{u}} f = |\nabla f|\cos\theta, où \theta est l'angle entre \nabla f et \mathbf{u}, le taux est maximal quand \cos\theta = 1, c'est-à-dire quand \mathbf{u} pointe dans le même sens que \nabla f. Le taux maximal vaut alors |\nabla f|.

Quel est le lien entre le gradient et les lignes de niveau ?
En tout point, le gradient est orthogonal à la ligne de niveau qui passe par ce point. Se déplacer le long de la ligne de niveau garde f constante, donc la dérivée directionnelle dans cette direction vaut 0, ce qui oblige le gradient à lui être perpendiculaire.

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